Aussage zu Ebenen?

Stimmt diese Aussage

Answer 1

[mihisu]

Ja.

Beispielsweise erhält man...

$\overrightarrow{OB}\cdot \vec{v}=\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}$

$\Leftrightarrow \quad \overrightarrow{OB}\cdot \vec{v}-\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}=0$

$\Leftrightarrow \quad \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \vec{v}=0$

$\Leftrightarrow \quad \overrightarrow{AB}\cdot \vec{v}=0$

Dementsprechend verläuft der Vektor v normal zum Vektor AB. Vollkommen analog erhält man, dass der Vektor v auch jeweils normal zu den Vektoren AC, AD verläuft.

Dementsprechend liegen die Punkte A, B, C, D in einer Ebene mit dem Vektor v als Normalenvektor.

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Bzw. ein klein wenig anders aufgeschrieben/begründet...

Die Ebene E mit Normalenvektor v, in der der Punkt A liegt, kann durch

$E:\ \left(\vec{x}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \vec{v}=0$

bzw. äquivalent dazu

$E:\ \vec{x}\cdot \vec{v}=\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}$

beschrieben werden.

[Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalenform#Normalenform_einer_Ebenengleichung]

Wegen der gegebenen Bedingung

$\overrightarrow{OA}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{OB}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{OC}\cdot\vec{v}=\overrightarrow{OD}\cdot\vec{v}$

ist die Ebenengleichung offensichtlich auch für die Ortsvektoren der Punkte B, C, D erfüllt. D.h. neben dem Punkt A liegen auch die Punkte B, C, D in dieser Ebene mit Normalenvektor v.

Comments

[Sweetdreams271]

Danke, jetzt verstehe ich es!

Könntest du bitte bei meiner letzten Frage vorbeischauen? Sa habe ich Schwierigkeiten