Aufgaben zu mehreren, unabhängigen variablen, ohne Nebenbedingungen?
Ich muss diese Funktion ( Siehe Bild )auf Extremwerte untersuchen.
Ich komme aber beim zweiten Schritt nicht weiter, wo ich beide Funktionen, die ich nach X und Y abgeleitet habe null setzen soll.
Ich wollte, das mit dem Aditionsverfahren lösen, kommen damit irgendwie nicht klar?
Kann mir einer Helfen bei der Aufgabe und mir dies bitte verständlich erklären?
Ich bin grade bei der 1 Aufgabe:
Hab diese Aufgabe bis hierhin ( Siehe Bild ) bearbeitet, komme ab dem Punkt nicht mehr weiter
Danke im Vorraus!
1 Antwort
zu 1)
partielle Ableitungen:
fx = 2 * x * y + y²
fy = x² + 2 * x * y + y² - 4
Notwendiges Kriterium für Extrema ist das Verschwinden der beiden partiellen Ableitungen.
(1) 2 * x * y + y² = 0
(2) x² + 2 * x * y + y² - 4 = 0
Umstellen und einsetzen:
(1) x = -y / 2
(1) in (2) (-y / 2)² + 2 * (-y / 2) * y + y² - 4 = 0
y_1 = 4
y_2 = -4
x_1 = -4 / 2 = -2
x_2 = - (-4) / 2 = 2
P (-2│4) und Q (2│-4) sind potenzielle Kandidaten für Extrema.
Um festzustellen, ob Extrema vorliegen, sind die zweiten partiellen Ableitungen erforderlich.
fxx = 2 * y
fxy = fyx = 2 * x + 2 * y
fyy = 2 * x + 2 * y
Wenn fxx * fyy - (fxy)² > 0, dann Extrema.
P (-2│4): 2 * 4 * (2 * (-2) + 2 * 4) - (2 * (-2) + 2 * 4)² = 16 (> 0, Extrema)
Q (2│-4): 2 * (-4) * (2 * 2 + 2 * (-4)) - (2 * 2 + 2 * (-4))² = 16 (> 0, Extremum)
Welches Extremum? Einsetzen in fxx:
P (-2│4): fxx = 2 * 4 = 8 (> 0, Minimum)
Q (2│-4): fxx = 2 * (-4) = -8 (< 0, Maximum)
Bei youtube findest Du hierzu verschiedene Methoden.
Hab das mit dem Umstellen und einsetzen noch nicht verstanden, kannst du mir das bitte nochmal erklären?