allgemeine Lösung von Gleichungen?
Hallo,
wie erhält man die allgemeine Lösung von Differentialgleichungen und welche Schritte muss man durchgehen?
Kann mir jemand es anhand dieser Beispiele zeigen:
1) x'=3x
2) x'=(t²+1)x
3) x'=sin(t)x
Ich danke in Voraus.
Was soll x sein - eine Funktion x(t), abhängig von der Zeit t - und soll dann x‘ = dx/dt sein?
Tut mir leid, es muss hier nur die allgemeine Lösung dieser 3 Gleichungen gefunden werden.
Dafür muss man aber wissen, was x‘ ist - nach welcher Variablen wird x abgeleitet?
nach x
Ich glaube nicht, dass das gemeint ist: wenn x nach x abgeleitet werden soll, dann ist trivialerweise x‘ = 1, und die obigen Gleichungen können einfach nach x aufgelöst werden.
Wenn z.B. bei dieser DGL x'(t)=t²x(t) nach t abgeleitet werden muss, wie bekomme ich dann die allg. Lsg.?
1 Antwort
Also soll x doch als Funktion von t nach t abgeleitet werden. Dann geht das so:
x‘(t)/x(t) = t^2, also: (log(x(t)))‘ = t^2,
Integrieren auf beiden Seiten:
log(x(t)) = t^3/3 + c_1
Exponenzieren auf beiden Seiten:
x(t) = Exp(c_1)*Exp(t^3/3) = c*Exp(t^3/3).
Der Trick nennt sich logarithmisches Integrieren - funktioniert genauso bei den anderen Beispielen…
Die erste Gleichung geht genauso wie vorher: x‘/x = 3, also (log(x))‘ = 3 - nach Integration: x(t) = c*Exp(3t); für die zweite DGL musst Du die Nullstellen z_1 und z_2 der charakteristischen Gleichung bestimmen z^2 + 2z + 1 = 0 bestimmen. Die allgemeine Lösung ist dann x(t) = c_1*Exp(z_1*t) + c_2*Exp(z_2*t)
Was, wenn aber nur eine eine Variable gegeben ist, wie bei x'=3x oder x''+2x'+x=0?