Äquivalenzumformung bei Betragsfunktionen?
Hey Leute,
wenn ich eine Funktion wie |x - y| < 3 habe,
kann ich eine Äquivalenzumformung wie |+y zu: |x| < 3 + y
machen?
Danke im voraus
4 Antworten
|x-y| < 3 bedeutet, dass der Abstand zwischen x und y kleiner als 3 ist.
Wenn du schreibst |x| < 3 + y ist das gleichbedeutend mit |x| - y < 3.
Bedeutet, es lassen sich einfach Beispiele finden, bei denen der Unterschied deutlich wird. Da der Unterschied nicht beim x liegt, wählen wir x = 0. Es bleiben
|-y| < 3 und
-y < 3
Wenn du für y zum Beispiel 5 wählst, geht die erste Ungleichung nicht auf, die zweite aber schon.
Nein, da |x-y| nicht |x|-y gleicht.
Wenn du zum Beispiel x=1 und y=2 setzt, hast du dann 1=-1, das ist ein klarer Widerspruch.
Allgemein kannst du Betragsklammern nicht einfach auseinanderziehen, nur wenn du sicher gehen kannst, dass der Wert da drin größer 0 ist. (Oder wenn du weißt, dass der Wert kleiner 0 ist, kannst du Mal -1 rechnen, bzw du führst eine Fallunterscheidung durch)
Du musst eine Fallunterscheidung machen.
Wenn x>=y, dann ist |x-y| = x-y. Andernfalls ist |x-y| = y-x.
Damit bist du die Betragsstriche los und du kannst "normal" weiterrechnen.
Eigentlich würde ich sagen, dass man das nicht machen kann, mir fällt aber kein Gegenbeispiel ein
Gegenbeispiel:
x = -3, y = -4
|(-3)-(-4)| = |1| = 1 < 3 ... korrekt
|-3| =3 < 3 + (-4) = -1 ... falsch