Differnezierbarkeit von Betragsfunktionen

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Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, wenn der Grenzwert

lim [x->x0] ( f ( x ) - f ( x 0 ) / ( x - x0 )

existiert. Das ist genau dann der Fall, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existiert und beide gleich sind.

Für die Funktion

f ( x ) = | x |

gilt an der Stelle x0 = 0 (diese Stelle gehört zum Definitionsbereich von f):

linksseitiger Grenzwert = - 1

rechtsseitiger Grenzwert = 1

Da beide ungleich sind, ist f ( x ) = | x | an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar.

.

Für die Funktion

f ( x ) = | x ³ |

gilt hingegen an der Stelle x0 = 0 ( auch hier gehört diese Stelle zum Definitionsbereich von f):

linksseitiger Grenzwert = 0

rechtsseitiger Grenzwert = 0

Da beide Grenzwerte gleich sind, ist f ( x ) = | x ³ | an der Stelle x0 = 0 differenzierbar.

Wie kommt man darauf, dass der rechtsseitige Grenzwert auch 0 ist? Ich kriege das nicht raus.

0
@dancy001

Definition:

| x |

= x, falls x >= 0

= - x , falls x < 0

(Anmerkung: Im Folgenden bedeutet: [h-> 0+ ] dass h "von oben", also von den positiven Zahlen her, gegen Null geht, sodass h also niemals negativ ist.)

Daher:

Rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle (x0 = 0)

= lim [h->0+] ( | ( x0 + h ) ³ | - | x0 ³ | ) / h

[wegen x0 = 0 gilt (siehe Definition)

| x0 ³ | = x0 ³ = 0

und auch

| ( x0 + h ) ³ | = ( x0 + h ) ³ = ( 0 + h ) ³ = h ³ ]

= lim [h->0+] ( h ³ - 0 ) / h

= lim [h->0+] ( h ² )

= 0

0

Die Funktion sieht aus wie eine Parabel, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. An dieser Stelle ist sie nicht differenzierbar.

Sie hat keine Definitionslücke, |0|=0, und an der Stelle 0 ist sie differenzierbar.

0

und habe raus, das sie nicht differenzierbatr ist.

Wie hast Du das ermittelt?

Nach meiner Überschlagsrechnung ist sie differenzierbar, linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert = 0 an der Stelle 0.

Oder hast Du nur irgendwo gelesen "die Betragsfunktion ist nicht differenzierbar"? Was für Betrag(x) gilt, muss für Betrag(x^3) noch lange nicht gelten.

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