Mathe Aussagen richtig oder falsch?
- Eine differenzierbare Funktion f mit D = R kann nur dann eine Extremstelle an der Stelle xe besitzen, wenn dort f ' (xe) = 0 ist.
- Sei f eine differenzierbare Funktion mit D = R . Hinreichend dafür, dass xe keine relative Extremstelle von f ist, ist f ' (xe) ≠ 0.
- Sei f eine differenzierbare Funktion mit D = R . f ' (xe) = 0 und f '' (xe) < 0 sind zusammen ein hinreichendes Kriterium für einen relativen Tiefpunkt.
- Die Funktion f sei eine im Intervall [a ; b] definierte Funktion, die im Inneren dieses Intervalls differenzierbar ist. Wenn f an einer Stelle xe [a ; b] ein absolutes Maximum hat, liegt an dieser Stelle eine waagerechte Tangente vor.
- Sei f eine differenzierbare Funktion mit D = R . Hat f an der Stelle xe einen Wendepunkt mit einer Wendetangente, die die Steigung Null hat, so liegt an der Stelle xe ein Sattelpunkt vor.
D = Defintionsbereich
R = Reel
Meine Lösung:
1) Richtig
2)Richtig
3) Falsch
4) Richtig
5) Falsch
Welche der folgenden Aussagen sind richtig oder falsch? Bite begründen warum.
Danke
3 Antworten
1) bis 3) sind richtig beantwortet.
4) ist falsch, denn bei Intervallen können die Randwerte höher/niederiger liegen als alle anderen im inneren, ohne dass hier die Steigung Null ist. Nimm als einfaches Beispiel f(x)=x im Intervall [0;1]. Hier hast Du bei x=1 das absolute Maximum und die Steigung ist 1.
Liegt eine absolute Extremstelle INNERHALB eines geschlossenen Intervalls, dann muss dort die Steigung Null sein.
Bei 5) ist vorausgesetzt, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. Ist hier die Steigung Null, dann nennt man diesen Wendepunkt Sattelpunkt. d. h. die Aussage ist richtig.
Hat man allerdings als Eigenschaften f'(xe)=f''(xe)=0, dann heißt das noch nicht, dass ein Wende-/Sattelpunkt vorliegt (Beispiel: f(x)=x^4). Die erste folgende Ableitung die ungleich Null ist, muss "ungerade" sein, d. h. die 3., 5. 7., ... Ableitung muss ungleich Null sein.
1) stimmt (über R definiert, dann ist in einem Extremum die Steigung null)
2) ebenso (siehe 1)
3) Stimmt
4) falsch (mögliche Randextrema)
5) Stimmt (ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente ist ein Sattelpunkt)
zu 1) nur bedingt richtig, hinreichende Bedingung f''(xe) \ne 0 fehlt.
zu 2) nur bedingt richtig. Zum Beispiel ist bei f(x)=x^2 +1 bei S(0|1) eine absolute Extremstelle (tiefster Punkt).
zu 3) falsch, wegen f''(xe)<0 ist es ein Hochpunkt, der kann jedoch auch absolut sein (f(x)=-x^2 +1).
zu 4) Falsch. Da in der Intervallschreibweise [a;b] die Grenzen a und b eingeschlossen sind, könnte auch ein Randmaximum vorliegen mit einer Steigung ungleich Null.
zu 5) Bedingt richtig, es fehlt die hinreichende Bedingung das f'''(xe) \ne Null ist.