Äquivalenzrelation nachweisen?
Hallo Leute,
Ich bräuchte eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe. Ich muss dazu beweisen, ob folgende Relation eine Äquivalenzrelation ist.
R = {(a, b) ∈ Z × Z | ∃z ∈ Z : a − b = z · p}, für ein festes p ∈ N
Ich bin irgendwie verwirrt. Ich weiß, das man ja Reflexivität, Symetrie und Transivität nachweisen muss.
Aber ich weiß nicht, wie ich das mit den zusätzlichen Variablen z und p machen machen muss.
1 Antwort
Ich würde folgendermaßen vorgehen:
Beispielsweise Reflexivität:
z.Z: F.a. a in Z: (a, a) in R:
Wähle z = 0:
Dann gilt a-a = 0 = z*p
=> (a,a) in R
Für die Symmetrie kannst du ausnutzen dass gilt a-b = -(b-a) und dementsprechend dein z wählen. Für Transitivität kannst du nutzen, dass (a-c) = (a-b)+(b-c) = ... und dann wählst du dementsprechend wieder dein Z.
Du kannst dir ja auch ein paar Zahlen für p überlegen und schauen, wie die Relation "funktioniert".
Aber ändere ich dadurch nicht die Relation. Weil es heißt ja a - b = z*p und nicht a -b = -z*p
Es geht nur darum das a - b ein Vielfaches von p ist. Nichts anderes mußt du nachweisen und nichts anderes hast du nachgewiesen. Du mußt endlich lernen die Bedeutung der abstrakten mathematischen Sprache zu entschlüsseln, sonst läufst du ewig hinterher.
Bei der Symetrie wie sehe ein solches z aus. Es gilt ja a - b = - (b- a) . Folglich muss ja -z * p sein ... Oder liege ich falsch