Äquivalenzklassen gleich?
Wenn a ein Element der Äquivalenzklasse [x] ist und auch von [y], wieso muss dann [x]=[y] sein?
3 Antworten
(nachfolgend soll R die Relation sein und aRb soll "a ist in Relation zu b" bedeuten)
Sei a aus [x] und [y].
Annahme:
Es gilt [x] ungleich [y].
Dann ist aRx und aRy.
Da R Äquivalenzrelation , gilt auch
xRa.
Damit gilt dann aber
xRy.
Sei nun b ein beliebiges Element aus [x], so gilt
bRx, womit wegen xRy folgt dass
bRy.
somit ist b auch Element aus [y].
Somit wäre gezeigt dass [x] Teilmenge von [y].
Sei nun c ein beliebiges Element aus [y], so gilt
bRy, womit wegen xRy bzw. yRx folgt dass
bRx.
somit ist b auch Element aus [x].
Somit wäre gezeigt dass [y] Teilmenge von [x].
Da [x]Teilmenge [y] und [y] teilmenge [x], folgt dass [x]=[y].
Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme dass [x] ungleich [y] ist.
Deshalb muss die Annahme falsch sein.
somit muss, wenn ein a existiert sodass aus [x] und [y] ist, [x]=[y] gelten.
Weil je zwei Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sind.
Aber wieso kann nicht ein a in [x] sein und auch mit [y] eine Relation eingehen, ohne dass die beiden gleich sind?
Ich hab dir gerade den formalen Grund genannt: Weil Äquivalenzrelationen symmetrisch und transitiv sind. Sie sind im Wesentlichen eine Verallgemeinerung der Gleichheit. D.h. wenn a in Relation zu x ist, dann betrachten wir die Elemente a und x als "quasi gleich".
Und wenn a = x und a = y ist, dann ist zwangsläufig auch x = y und alles was gleich x ist, ist auch gleich y und umgekehrt.
Wenn du Relationen haben willst, bei denen das nicht der Fall ist, dann sind es eben keine Äquivalenzrelationen.
Weil äquivalenzklassen disjunkt sind
Vielleicht etwas ausführlicher: Sei a in [x] und in [y]. Sei ferner b ein beliebiges Element von [x]. Dann gelten a ~ x, a ~ y und b ~ x. Wegen Symmetrie:
b ~ x und x ~ a und a ~ y, also auch b ~ y dank der Transitivität.
Daher ist b in [y] und da b in [x] beliebig war, ist [x] eine Teilmenge von [y].
Analog zeigt man, dass [y] eine Teilmenge von [x] ist.