Äquivalenzrelation, aufgabe so richtig gelöst?

Hallo, ich benötige hilfe beim lösen der folgenden Aufgabe. Ich habe mir mehrmals die Vorlesungsfolien durchgelesen, aber komme trotzdem kein Prozent weiter.

Auf N(natürliche Zahlen) sei folgende Relation gegeben:

n~m:⇔n

und m

 haben einen gemeinsamen Teiler verschieden von 1.

Überprüfen Sie, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt und geben Sie gegebenfalls die Äquivalenzklassen an.

Ich habe folgendes schon gemacht(siehe Foto) ist das sogar eventuell richtig?

würde mich sehr über eine Lösung freuen, da ich diese Punkte für die Hausaufgaben benötige..

Danke ich vorraus für jede Antwort.

Answer 1

[Minuteman19]

Im prinzip genauso wie ich es geschrieben hab, dass bei dem Beispiel die Transitivität verletzt wird und dadurch die Relation nicht transitiv ist im allgemeinen und damit auch keine Äquivalenzrelation sein kann

Answer 2

[Quotenbanane]

Deine "Beweise" taugen nichts, da sie auf Beispiele aufbauen. Du schreibst im Wesentlichen nur das hin, was du beweisen willst und gibst dann ein Beispiel. Leider unzureichend.

Du willst folgendes zeigen...

$x\sim y:\Leftrightarrow\ \exists k\in\mathbb{N}\ \text{ohne}\left\{1\right\}:\ k\ \mid x\ \wedge\ k\mid y\$

Reflexivität:

$x\sim x\ :\Leftrightarrow\ \exists k\in\mathbb{N}\text{ohne}\left\{1\right\}:k\mid x\ \wedge k\mid x$

Es gibt ein solches k, und zwar k = x, denn x teilt x.

Symmetrie:

$x\sim y\ \Rightarrow y\sim x$

$x\sim y\ :\Leftrightarrow\ \exists k\in\mathbb{N}\ \text{ohne}\ \left\{1\right\}:\ k\mid x\ \wedge k\mid y\ \Leftrightarrow\ \exists k\in\mathbb{N}\ \text{ohne}\ \left\{1\right\}:\ k\mid y\wedge k\mid x\ \Leftrightarrow:\ y\sim x$

Hier kommt die Logik zur Anwendung, die besagt, dass die Kommutativität für das logische Und gültig ist.

Transitivität:

$\text{x}\sim y\ \wedge y\sim z\ \Rightarrow x\sim z$

Ich mach's kurz...

$\left(\exists k:\ k\mid x\ \wedge k\mid y\ \right)\wedge\left(\exists l:\ l\mid y\wedge l\mid z\right)\ \Rightarrow\left(\exists m:m\mid x\ \wedge m\mid y\right)$

Das kann man durch ein Gegenbeispiel widerlegen.

Sei x = 7, y = 14 und z = 8

x~y => gemeinsamer Teiler: 7

y~z => gemeinsamer Teiler: 2

x~z => ggT(7,8)? 1, was aber laut Def nicht erlaubt ist.

Die Relation ist also nicht transitiv.

-------------------------------------------------------

Fazit: Die Relation ist reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv.

Was du lernen solltest/müsstest: Wie man Beweise führt. Z.B. reicht es nicht, die Gültigkeit von Ref. & Symm. für alle Zahlen anhand eines Beispiels zu beweisen. Wiederum reicht es aber aus, die allgemeine Gültigkeit durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen.

Answer 3

[Minuteman19]

Achso ich hab das überprüfen nicht gelesen und deswegen die ganze Zeit versucht zu beweisen aber dann ist mir aufgefallen, dass es nicht stimmt. Beispielsweise wird die Transitivität mit 2 6 und 9 verletzt. Da 2 und 6 gemeinsame teiler haben und 6 und 9 aber nicht 2 und 9. Alsi stimmt das nicht und dann kann man da auch nix beweisen :D

Comments

[freaky66]

Wie schreibe ich so etwas denn am besten auf?