Ableitungen mit sinus im Bruch?
Hallo (:,
also das waere echt nett, wenn mir jemand diese Funktion: f(x)=sin(x)/2x^2+1 in die erste Ableitung ableiten würde. Ich blicke irgendwie nicht durch 🙄 Online Ableitungsrechner hab ich auch schon getestet, bringen mir aber weniger. Danke im Voraus 👍🏼
5 Antworten
Wichtig ist, ob 2x² + 1 im Nenner steht oder nur die 2x².
Ist also f(x) = sin(x) / (2x² + 1) oder f(x) = sin(x)/(2x²) + 1?
Dann kommt folgendes raus:
f(x) = sin(x) / (2x² + 1)
f'(x) = (2x²* cos(x) - 4x*sin(x) + cos(x)) / (2x² + 1)²
Sehr schön, was?
Oh man🙄 aber super, dankeee für die mühe (:
ich denke mal, dass (2x²+1) komplett im Nenner steht. Du nutzt hier "einfach" die Quotientenregel: "Ableitung Zähler" mal "Nenner" minus "Zähler" mal "Ableitung Nenner" und das ganze dann durch "Nenner" zum Quadrat.
Oder schreibe es um zu sin(x) * (2x²+1)^(-1) und leite es mit der Produktregel ab; kommt in beiden Fällen natürlich dasselbe raus.
Dass die Ableitung von (sin x) einfach (cos x) ist, weißt du?
Quotientenableitung ist ein heißes Ding, weil man sich da gut verrechnen kann bei den vielen Sachen, an die man denken muss. Ich kann immer nur empfehlen, es mit u und v zu machen:
f(x) = u/v
f '(x) = (vu' - uv') / v²
Das v ist bei mir deshalb führend im Zähler, weil es daran erinnern soll, dass bei dieser Anordnung der Anfang des Zählers und der Nenner übereinstimmen. Andere Reihenfolgen sind möglich, werden von mir aber nicht empfohlen.
Nun folgendermaßen abwickeln:
f(x) = (sin x) / (2x² + 1)
u = sin x u' = cos x
v = 2x² + 1 v' = 4x v² = (2x² + 1)²
f'(x) = [ (2x² + 1)(cos x)- (sin x)* 4x ] / (2x² + 1)²
= [ 2x² (cos x) + (cos x)- 4x (sin x)] / (2x² + 1)²
Den Nenner auszumultiplizieren, sollte man besser vermeiden, weil sonst die nächste Ableitung sehr schwierig wird.
Das ist einigermaßen leicht und übersichtlich.
Die Darstellung erleichtert damit auch eventuell nötige spätere Korrekturen.
Ansich musst du einfach die Ableitungsregel für Divisionen nehmen.
u abgeleitet mal v und dann v abgeleitet mal u dividiert durch v^2
Deinem Kommentar auf eine andere Antwort nach zu urteilen, soll 2x² + 1 komplett im Nenner stehen. Setze das nächste Mal doch bitte entsprechende Klammern, um Missverständnissen vorzubeugen:
f(x) = sin(x) / (2 x² + 1)
==========
Die 2*x^2+1 steht im Nenner