Ableitung?
Aufgabe:
Von der Funktion x → f(x) sei bekannt, dass sie in einer Umgebung eines Punktes x0
differenzierbar ist, dass f(x0) = 0 ist, und dass zudem exp^(−sin f(x)) + f(x)^2 =x
für x alle x gilt
Bestimmen Sie die Ableitung f′(x0) und stellen Sie damit fest, welche Vorzeichen die Funktion in einer Umgebung von x0 annimmt.
Kann mir jemand bitte hier weiterhelfen? Ich verstehe die Aufgabe leider nicht und wie soll man ableiten
2 Antworten
Die Aufgabe ist zugegebenermaßen nicht ganz leicht.
Bei solchen Aufgaben hilft manchmal nur Mut: Du must anfangen zu rechnen, auch wenn du nicht weißt, ob deine Rechnung zu dem gesuchten Ergebnis führen wird.
Beachte bitte zunächst, dass wir über die Funktion f nur sehr wenig wissen und das auch nicht verlangt ist, dass wir eine Formel für f finden. Wir sollen nur herausfinden, welches Vorzichen die Funktion f links von x0 hat und welches rechts von x0.
Gucken wir uns nun an, was wir haben:
Gegeben ist dir die Gleichung
Das einzige, was du mit dieser Gleichung sinnvollerweise machen kannst, ist, beide Seiten abzuleiten. Das darf man mit einer GLeichung immer machen. Also mache das. Du erhältst eine ziemlich komplizierte Formel:
Hier wurde natürlich mehrfach die Kettenregel angewendet, d.h., nachdifferenziert.
Du sollst dich für den Punkt x0 interessieren, für den du gar keinen Zahlenwert hast und auch nicht brauchst. Du weißt aber, dass f(x0) = 0. Ausserdem weißt du, dass gilt:
sin(0) = 0, cos(0) = 1
Wenn wir nun in die durch Ableiten erhaltene Gleichung x0 einsetzen, können wir alle diese Beziehungen verwenden, um die durch Einsetzen erhaltene Gleichung zu vereinfachen:
also nach weiterer Vereinfachung:
oder besser noch:
Das ist schon viel angenehmer zu lesen. Diese Gleichung sagt uns, dass die Funktion f bei x0 streng monoton fallend ist.
Da wir außerdem wissen, dass f(x0) = 0 folgern wir, dass f(x) links von x0 positiv und rechts von x0 negativ sein muss.
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Ich behaupte nun, dass man zu diesem Ergebnis kommen kann, wenn man einfach mutig anfängt, die gegebene Gleichung abzuleiten und sodann sieht, welche weiteren Rechenschritte dadurch möglich werden. Das ist das allmähliche Entstehen der Ideen während des Rechnens. (Analog zu H. v. Kleists These von der allmählichen Verfertigung der Gedanken beim Reden.)
Das f'(x) entsteht bei der Anwendung der Kettenregel durch das sogenannte Nachdifferenzieren. Das wir für f(x) keinen Term haben, den wir differenzieren könnten, bleibt uns da nichts anders übrig, als die Ableitung symbolisch hinzuschreiben in der Form f'(x). Das ist aber völlig richtig, auch wenn es natürlich gewöhnungsbedürftig ist. Aber seien wir ehrlich: Gewöhnungsbedürftig ist vieles in der Mathematik.
exp^(−sin f(x)) + f(x)^2 =x
Das bedeutet, dass x ↦ exp(-sin x) + x2 = f-1(x) die Umkehrfunktion von x ↦ f(x) ist. Mit exp(-sin f(x)) + f(x)2 = x und f(x0) = 0 erhält man x0 = exp(-sin 0)) + 02 = 1.
Man erinnere sich wie Ableitung der Umkehrfunktion und Ableitung der Funktion zusammenhängen:Die Umkehrfunktion f-1 lässt sich direkt ableiten und 0 einsetzen. Die Ableitung von f an der Stelle x0 ist nach der Umkehrregel der Kehrwert.
Plot der Kurve exp(-sin y) + y² = x:
In dem Fall ist (f-1)'(0) = - 1 und somit auch f'(1) = -1.
Sie haben recht ich habe angefangen zu rechnen aber ich habe nict hinbekommen. Kleine frage wie haben sue abgeleitet ich habe f'(x) nicht in meiner Ableitung also sie haben zwei mal