Ab wann kann man eigentlich durch null teilen (komplexe, hyperkomplexe Zahlen)?

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4 Antworten

Durch 0 kann man niemals teilen, nicht einmal in Körpern wie den Hyperreellen Zahlen *ℝ der Nichtstandard-AnaIysis, die immerhin unendlich große Elemente enthalten. Sie sind aber wohldefiniert und alle verschieden, und ihre infinitesimalen Kehrwerte sind es ebenfalls. 

Dass man es nicht kann, ergibt sich nicht aus der Unendlichkeit eines Kehrwertes von 0, sondern aus fehlender Eindeutigkeit. Die 0 ist der große Plattmacher unter den Zahlen, was immer man mit ihr multipliziert, wird zu 0. Allein deshalb kann sie keinen Kehrwert haben.

Die Erweiterten Reellen Zahlen kennen zwar entweder die Elemente „±∞“ (affin) bzw. „∞“ (projektiv), aber die gehorchen nicht mehr den üblichen Rechenregeln und lassen sich auch nicht wirklich als Kehrwert der 0 auffassen, eben weil z.B. 2·0=0 ebenso wie 1·0=0 ist und man keinesfalls „0/0 = 0·∞ = 1“ setzen kann.

Teilen durch 0 ermöglicht es dadurch, die Gleichheit ungleicher Zahlen zu beweisen. Deshalb ist das nicht definierbar.

Schon ab natürliche Zahlen.

Man definiert 1/0 =: ∞  ("unendlich")

Das geht bei allen Zahlenbereichen, wenigstens bis zum Komplexen. Aber überall (auch bei hyperkomplexen) hat man mit dem Element "unendlich" Probleme - es lässt sich nicht als Zahl auffassen, insbesondere sind die üblichen Rechenoperationen nicht immer überhaupt definierbar.

Z. B. sind 0 * ∞ ,  ∞ / ∞ , 0 / 0 , ∞ - ∞ auf keine Weise sinnvoll als Element des erweiterten Zahlenbereichs definierbar.

Eine Rolle spielt das "multiplikative Inverse der 0"  aber praktisch nur in der Theorie der meromorphen Funktionen (Funktionen von ℂ ∪ {∞} in ℂ ∪ {∞}).

Man definiert 1/0 =: ∞  ("unendlich")

Dann wäre automatisch auch 2/0 = ∞, 3/0 = ∞ usw. (denn n*∞ = ∞)

Und damit wäre wiederum zum einen 0*∞ = 1, aber zugleich auch 0*∞ = 2, 0*∞ = 3 usw.

Deine "Definition" ist in meinen Augen kompletter Quatsch (und ich habe sie auch in meinem Mathestudium niemals derartig gesehen!), weil sie zu einem unlösbaren Widerspruch führt - mit dieser Definition wären alle Zahlen gleich

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@claushilbig

Dann wäre automatisch auch 2/0 = ∞, 3/0 = ∞ usw. (denn n*∞ = ∞)

Ja, das ist auch so.

Und damit wäre wiederum zum einen 0*∞ = 1, aber zugleich auch 0*∞ = 2, 0*∞ = 3 usw.

Wie gesagt, ist ∞ keine Zahl und die genannten Ausdrücke sind nicht sinnvoll definierbar, weshalb man sie auch als undefiniert erklärt.

Man hat bisher noch keine Widersprüche in der Theorie der meromorphen Funktionen gefunden. Wenn du einen gefunden hast, mach deutlich, dass du diese Theorie verstanden hast (wichtig! sonst behandelt man dich als einen weiteren ahnungslosen Spinner) und veröffentliche diesen Widerspruch.

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Eine Division durch 0 ist nie definiert

Wenn man 0 als eine andere Zahl definiert.

Bei komplexen Zahlen ist es nicht möglich.
Was Hyperkomplexe Zahlen sind weiß ich leider nicht.

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