Ab wann kann man eigentlich durch null teilen (komplexe, hyperkomplexe Zahlen)?

4 Antworten

Durch 0 kann man niemals teilen, nicht einmal in Körpern wie den Hyperreellen Zahlen *ℝ der Nichtstandard-AnaIysis, die immerhin unendlich große Elemente enthalten. Sie sind aber wohldefiniert und alle verschieden, und ihre infinitesimalen Kehrwerte sind es ebenfalls. 

Dass man es nicht kann, ergibt sich nicht aus der Unendlichkeit eines Kehrwertes von 0, sondern aus fehlender Eindeutigkeit. Die 0 ist der große Plattmacher unter den Zahlen, was immer man mit ihr multipliziert, wird zu 0. Allein deshalb kann sie keinen Kehrwert haben.

Die Erweiterten Reellen Zahlen kennen zwar entweder die Elemente „±∞“ (affin) bzw. „∞“ (projektiv), aber die gehorchen nicht mehr den üblichen Rechenregeln und lassen sich auch nicht wirklich als Kehrwert der 0 auffassen, eben weil z.B. 2·0=0 ebenso wie 1·0=0 ist und man keinesfalls „0/0 = 0·∞ = 1“ setzen kann.

Teilen durch 0 ermöglicht es dadurch, die Gleichheit ungleicher Zahlen zu beweisen. Deshalb ist das nicht definierbar.

Eine Division durch 0 ist nie definiert

Wenn man 0 als eine andere Zahl definiert.

Bei komplexen Zahlen ist es nicht möglich.
Was Hyperkomplexe Zahlen sind weiß ich leider nicht.

Schon ab natürliche Zahlen.

Man definiert 1/0 =: ∞  ("unendlich")

Das geht bei allen Zahlenbereichen, wenigstens bis zum Komplexen. Aber überall (auch bei hyperkomplexen) hat man mit dem Element "unendlich" Probleme - es lässt sich nicht als Zahl auffassen, insbesondere sind die üblichen Rechenoperationen nicht immer überhaupt definierbar.

Z. B. sind 0 * ∞ ,  ∞ / ∞ , 0 / 0 , ∞ - ∞ auf keine Weise sinnvoll als Element des erweiterten Zahlenbereichs definierbar.

Eine Rolle spielt das "multiplikative Inverse der 0"  aber praktisch nur in der Theorie der meromorphen Funktionen (Funktionen von ℂ ∪ {∞} in ℂ ∪ {∞}).

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Man definiert 1/0 =: ∞  ("unendlich")

Dann wäre automatisch auch 2/0 = ∞, 3/0 = ∞ usw. (denn n*∞ = ∞)

Und damit wäre wiederum zum einen 0*∞ = 1, aber zugleich auch 0*∞ = 2, 0*∞ = 3 usw.

Deine "Definition" ist in meinen Augen kompletter Quatsch (und ich habe sie auch in meinem Mathestudium niemals derartig gesehen!), weil sie zu einem unlösbaren Widerspruch führt - mit dieser Definition wären alle Zahlen gleich

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@claushilbig

Dann wäre automatisch auch 2/0 = ∞, 3/0 = ∞ usw. (denn n*∞ = ∞)

Ja, das ist auch so.

Und damit wäre wiederum zum einen 0*∞ = 1, aber zugleich auch 0*∞ = 2, 0*∞ = 3 usw.

Wie gesagt, ist ∞ keine Zahl und die genannten Ausdrücke sind nicht sinnvoll definierbar, weshalb man sie auch als undefiniert erklärt.

Man hat bisher noch keine Widersprüche in der Theorie der meromorphen Funktionen gefunden. Wenn du einen gefunden hast, mach deutlich, dass du diese Theorie verstanden hast (wichtig! sonst behandelt man dich als einen weiteren ahnungslosen Spinner) und veröffentliche diesen Widerspruch.

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@claushilbig

Er hat da schon einen Ansatz und ich bin auch der gleichen Meinung. Wenn du schon mal eine Tabelle mit indirekter Proportionalität gesehen hast, kannst du erkennen, dass es an einem Bestimmten Punkt unendlich sein muss. 0 Kinder bräuchten unendlich viel Zeit, ein Zimmer aufzuräumen, wofür ein Kind nur 5 Minuten Bräuchte. Deshalb gehe ich auch davon aus, dass jede Zah durch 0 unendlich ist. Wenn ich 2€ auf 2 Personen aufteilen will, bekommt natürlich jeder 1€. Wenn ich aber 2€ restlos auf 0 Personen aufteilen will, geht es nicht es ist ein anderes Beispiel als vorher. Deshalb gebe ich euch beiden Recht. Jede Zahl dur Null ist unendlich Unendlich zugleich nicht teilbar. Auch, wenn es sich Paradox anhört, könnte man es so behaupten. Aber nehmen wir nochmal das Beispiel mit den Kindern und dem Zimmer von oben. 0 Kinder hätten nach einer unendlichen Zeit noch immer nichts erreicht, doch bräuchten sie genau diese Zeit (unendlich), um das Zimmer aufzuräumen. Wir man sieht, ein Paradoxon. Gleich wie 0 geteilt durch 0. Man könnte sagen 0 geht in 0 einsam rein. Es geht aber auch unendlich oft rein. Oder gar nicht. Wie man es sehen will. 0 und unendlich sind komplizierte Zahlen (auch, wenn unendlich eigentlich ein Menge und keine Zahl ist), mit denen es schwer ist, mathematische Gleichungen aufzustellen. Ausgenommen von Plus, mal und Minus mit Null. Ich entschuldige mich, falls ich etwas übersehen oder noch nicht gelernt habe. Und natürlich weißt du, als Mathematikatudent auch mehr als ich, ein achtklässler. Aber wie ich das sehe, kann man beide Meinungen vertreten. Hier gibt es kein richtig und kein falsch. Außer man würde jetzt sagen, unendlich minus 5 sei z.B.9000. Unendlich +/- jede Zahl = unendlich. Wenn jemand von euch gut englisch kann, dann würde ich ihm den Youtube Kanal vsauce empfehlen.

(https://youtu.be/SrU9YDoXE88)

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@imaNub605

Natürlich ist es problematisch, 1/0 zu definieren, aber es hat mehr Vorteile als Nachteile. Insbesondere bei den "meromorphen Funktionen" (Funktionen, bei denen man die Sonderstellung von Polstellen beseitigt hat): https://de.wikipedia.org/wiki/Meromorphe_Funktion

0 / 0, 0 * ∞, ∞ - ∞ u. ä. lassen sich aber immer noch nicht sinnvoll definieren. Es ist unmöglich, alle Beschränkungen der Berechenbarkeit zu beseitigen.

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