Wann benutzt man "einzig", und wann "einzige"?

Nein, es geht nicht beides.
In diesem Fall muss es einzig heißen, weil es adverbiell benutzt wird. Adverbiell benutzt ist es immer einzig– jedenfalls fällt mir kein Gegenbeispiel ein.

Einzige ist eine flektierte Form des Adjektivs einzig.

Was ist jetzt flektiert?
Einzig ist ein Adjektiv und wird dem Satz entsprechend angepasst. Passt man Worte dem Satz an, nennt man das Flektieren. Das Konjugieren bei Verben ist da ein bekanntes Beispiel, oder wenn du das Subjekt in bspw. den Akkusativ setzt.

Ein vollständige Tabelle der Formen von einzig findest du u.a. hier

Ich meine, das hat was mit der Wortart zu tun. Einzig beschreibt richtig näher, daher ist es ein Adverb. Bei einzige und richtige sehe ich beide Wortarten als gleichwertige Adjektive.

Hier eine Vermutung (Achtung! Gefährliches Halbwissen aus dem Internet xD):

Einzig kann ein Adjektiv oder ein Adverb sein.

https://www.duden.de/rechtschreibung/einzig_ausschlieszlich_nur

https://www.duden.de/rechtschreibung/einzig_allein_besonders

Adjektive beschreiben die Beschaffenheit einer Person oder einer Sache und beziehen sich auf ein Substantiv. Adverbien beschreiben die näheren Umstände einer Tätigkeit, eines Vorganges oder Zustandes und beziehen sich auf ein Adjektiv.

Bei deinem Beispiel ist es ein Adverb, weil du nicht sagen möchtest, dass es der einzige Weg ist, sondern der einzig richtige Weg. Richtig ist hier ein Adjektiv. Du hast schon ein angepasstes Adjektiv und da du dich darauf beziehst, musst du es nicht mehr beugen.

Wenn du aber sagen möchtest, das es der einzige Weg ist und gar kein anderer theoretisch da wäre, dann ist einzig ein Adjektiv und muss entsprechend angepasst werden, weil es sich auf ein Substantiv (Weg, statt richtig) bezieht.

Nach der Logik folgende Beispiele:

Das einzige Auto hier ist grün. (einzig=Adjektiv, beschreibt das Auto)

Das einzig grüne Auto ist hier. (Einzig=Adverb, beschreibt 'grüne')

Das einzige, aber langsame Auto ist hier. (Beides Adjektive, weil sie sich auf Auto (=Substantiv) beziehen)

Woah, jetzt kann ich befriedigt ins Bett gehen xD. Ob es richtig ist weiß ich aber nicht

Beides geht (der Sinn ist aber unterschiedlich!), aber im ersten Beispiel ist "einzig" ein Adverb.

Im zweiten Beispiel ist "einzige" ebenso wie "richtige" die gebeugte (feminine) Form eines Adjektivs. Adverbien werden nicht gebeugt, daher muss das dazugehörige Adverb "einzig" ohne -e lauten.

Vgl. "eine richtig schlechte Pizza" - hier ist "richtig" das Adverb, es bezieht sich auf "schlechte". Und im ersten Beispiel bezieht sich "einzig" auf "richtige".

Oder "eine merkwürdig geformte Banane".

Beispiele:

Es geht einzig und allein um die Form der Statue. (Gebrauch als Adverb)

Dies war die einzige Statue, welche diese merkwürdige Form hatte. (als Adjektiv)

Es heißt entweder:

• Die einzig richtige Antwort

oder:

• Die einzige Antwort.