Zinseszins: Wie lange dauert es bis sich das Kapital verdoppelt?
Hallo,
ich baruche mal kurz Hilfe in Mathe. Ich bin 7. Klasse und wir haben das Thema Zinseszinsen. Wie man volljaähriege und halbjährige Zinsen berechnet hab ich alles bestens verstanden. Aber jetzt sind in meinem Mathebuch 2 Aufgaben, die ich nicht verstehe. Also ich weiß nicht wie ich an das Ergebnis komme.
Die Aufgaben:
Wie viele Jahre muss man ein Kapital von 1 000€ bei einem Zinssatz von a)10% b) 5% c) 3% anlegen, damit es sich mit Zinseszins verdoppelt?
Ein Kapital von 1000 € soll sich in 5 Jahren verdoppeln. Welcher Zinssatz - gerundet auf eine Dezimale- ist dazu nötig?
Könntet ihr mir bitte helfen, wie man an die Lösung kommt.
Danke:) bond0072013
4 Antworten
Vermutlich habt ihr die normale Zinseszinsformel gelernt.
Kn = K * q ^ n, wobei ja q = 1,10 ist bei 10% (1,05 bei 5%)und n die Anzahl der Jahre.
Was heißt denn Verdoppelung? Das bedeutet, dass Kn = 2K ist, das Doppelte des Anfangskapitals.
Also 2K = K * q ^ n
Das kannst du auf beiden Seiten durck K teilen. Das Kapital spielt nämlich bei der Berechnung der Vervielfachung nicht die geringste Rolle.
2 = q ^ n
Nun brauchst du allerdings den Logarithmus. Ist es dir klar? Wenn nicht, musst du einen Kommentar schicken.
Man bekommt ja jetzt auch die früheren Anfragen aufgelistet. Es ist doch erstaunlich, wie oft das schon gefragt worden ist.
Na, aber auch bei euch ist q = 1,1 bei 10%.
Ich führe es für dieses q mal weiter.
q ^ n = 2 ,,,, logartithmieren
log q ^n = log 2 ,,,,,, 3. Log-Gesetz
n * log q = log 2 ,,,, / log q
n = log 2 / log 1,1
n = 7,273 Jahre
Probe: 1000 * 1,1 ^ 7,273 = 2000
Ggf. muss jetzt noch diskutiert werden, dass man das Kapital für 8 Jahre anlegen muss, weil die Banken es erst zum Jahresende herausrücken. Dann gibt es einige € mehr. Das kannst du dir selbst ausrechnen.
Das t bei euch (bei mir n) steht für time und meint Jahre. Tage sind abgekürzt d.
^ ist "hoch". 2 ^ 3 = 8
Für die zweite Aufgabe kannst du mit demselben Ansatz arbeiten. Da aber nicht Zeit, sondern Prozent (also erstmal q) herauskommen soll, bekommst du es mit Wurzelrechnung hin.
Nur zur Ermittlung der Zeit braucht man die Logarithmen.
Was ist dieses log?
1.) 2=1,10^t nach t mit log auflösen
und 2.) 2=a^5 mit 5. Wurzel nach a auflösen
Der direkte Weg ist so, wie Volens schreibt.
Wenn ihr Logarithmus noch nicht hattet, dann geht es nur, indem du eine Wertetafel machst, und mit deiner Funktion
K= (1+p) hoch t * G
so lange Werte berechnest, bis (mehr als) 2000€ herauskommt.
Du darfst dir aber sicher beim Erstellen der Wertetafel von einem programmierbaren Taschenrechner "helfen lassen", dann ist das keine so "Strafarbeit".
Habe 7 ; 14; 23,5 und 14% rausbekommen. Ist das korrekt ? (habe keinen Taschenrechner zur Hand ...)
Statt 14 besser 14,97%
Und das ohne Rechenknecht. Nicht schlecht.
Die Jahre habe ich nicht alle durchgerechnet, aber da ich bei 10% auf etwa 7,3 gekommen bin, mag es wohl stimmen.
Aber so ganz ohne Rechenweg? Was soll der Fragesteller damit anfangen? Hier geht es ja nicht so sehr um die Lösungen, sondern wie man dahin kommt.
Wir hatten diese Formel für Zinseszins:
K=Kapital p=Zinssatz(Prozentsatz) t=Tage G= Guthaben
K= (1+p) hoch t * G
Das hab ich bis jetzt verstanden: 1000€ ist ja das doppelte 2000€ sprich ich muss es auf 2000€bekommen.
Das was du geschrieben hast ist mir nicht ganz klar weil wir in der Schule andere Begriffe hatten und was ist ^ ?
Vieeeeeelen dank, dass du dir so viel mühe machst. Das wir auf jeden Fall die hilfreichste Antwort!;)