Relation angeben auf AxA?
Hallo Leute ich komm nicht weiter, bitte helft mir mal.
Ich habe gegeben die Menge A = {o,r,t}.
1) ich muss das kart. Produkt AxA angeben, alles klar AxA = {(o,o),(o,r),(o,t),(r,o),(r,r),(r,t),(t,o),(t,r),(t,t)}
2) nun soll ich eine Relation R auf AxA angeben, die KEINE Äquivalenzrelation ist. Okay: Äquivalenzrelation bedeutet sie muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein. Aber wenn A = A ist, dann gibt es doch NUR Äquivalenzrelationen oder? ich verstehs net ganz :(
Also meine konkrete Frage ist: was ist eine Relation auf AxA, die KEINE Äquivalenzrelation ist?
Vielen Dank
5 Antworten
Du meinst sicher "Relation auf A". Denn eine Relation auf AxA wäre eine Teilmenge von (AxA)x(AxA).
Eine Relation ist einfach eine Teilmenge des kartesischen Produkts. Weiter ist nichts verlangt, also jede Teilmenge von AxA ist eine Relation auf A. Du kannst also zB ein-elementige Mengen nehmen:
{(o,r)} Diese Relation ist nicht reflexiv (es fehlen (o,o), (r,r) und (t,t)); auch nicht symmetrisch (es fehlt (r,o)).
Sämtliche ein- und zweielementigen Teilmengen von AxA sind in deinem Beispiel keine Äquivalenzrelationen. Denn eine Äquivalenzrelation muss mindestens die Paare (o,o), (r,r) und (t,t) enthalten (Reflexivität), muss für dein A also mindestens drei-elementig sein.
Eine (Äquivalenz-) Relation auf M ist eine Teilmenge von M x M
Eine (Äquivalenz-) Relation auf M x M ist eine Teilmenge von (M x M) x (M x M)
Alle Äquivalenzrelationen auf M lauten:
{ (o,o), (r,r), (t,t) }
{ (o,o), (r,r), (t,t), (r,t), (t,r)}
{ (o,o), (r,r), (t,t), (o,t), (t,o)}
{ (o,o), (r,r), (t,t), (o,r), (r,o)}
{(o,o),(o,r),(o,t),(r,o),(r,r),(r,t),(t,o),(t,r),(t,t)}
da dies alle möglichen restlos disjunkten Zerlegungen sind :
1.-----Zerlegung in 3 Äquivalenzklassen
2., 3., 4.-----Zerlegung in 2 Äquivalenzklassen
5.-----Zerlegung in eine Äquivalenzklasse
Alle anderen möglichen Relationen auf M sind keine Äquivalenzrelationen
vielleicht sei noch erläutert:
1) die 3 Äquivalenzklassen lauten: {o}, {r}, {t}
2) die 2 Äquivalenzklassen lauten: {o}, {r,t}
5) die eine Äquivalenzklasse lautet: {o,r,t}
ist dies hier richtig?
-> ich sage meine Relation heißt R = {(o,r),(o,t),(r,o),(r,t),(t,o),(t,r)}
da hier (o,o),(r,r) und (t,t) fehlen, ist die Relation nicht reflexiv, und somit ist dies keine Äquivalenzrelation. Ist das korrekt?
Korrekt. Es würde auch schon reichen, wenn nur eines der Paare (o,o),(r,r) oder (t,t) fehlen würde.
ich glaube "=" ist Äquivalenzr. und kleiner zB wäre ne Relation. die keine Ä. ist. Reflexiv würde ja schon nicht hinhauen.
alter. natürlich bedeutet = äquivalent, das hab ich aber nicht gefragt. ich soll eine relation angeben die NICHT äquivalent ist.
was bist du denn für einer; wenn schon, dann alte; ich meinte "kleiner" wäre ne Relation, die keine Äquiv. ist.
sorry vorhin wurde von deiner nachricht nur "ich glaube "0" ist äquivalenzr." angezeigt
vielleicht noch zur Erläuterung:
1) Keines der 3 Elemente o,r,t aus M sind zu den anderen (hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft) gleich, außer natürlich zu sich sebst, daher 3 Äquivalenzklassen
2), 3), 4) Zwei der 3 Elemente aus M sind zueinander (hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft) gleich, daher 2 Äquivalenzklassen
5) Alle 3 Elemente aus M sind zueinander (hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft) gleich, daher nur eine Äquivalenzklasse