Muss ein Vermieter einen Monat beim Urteil vom Amtsgericht warten bevor er vollstrecken lassen?

Nein, die meisten Urteile sind vorläufig vollstreckbar, jedoch hat der Beklagte (Mietet) die Möglichkeit, durch zu zahlende Sicherheit die vorläufige Vollstreckbarkeit zu verhindern.

Die meisten Urteile sind vorläufig vollstreckbar (steht im Tenor "Das Urteil ist vorläufig vollstreckbar").

Das heißt, dass der Gläubiger nicht die Rechtsmittel-/Beschwerde-Frist abwarten muss. Er kann sofort nach Zustellung des Urteils vollstrecken.

Diese vorläufige Vollstreckbarkeit kann im Urteil noch eine kleine Hürde habe (Das Urteil ist gehe Sicherheitsleistung in Höhe von xx Euro vorläufig vollstreckbar.").

Dann muss der Gläubiger erst bei Gericht diesen Geldbetrag hinterlegen und kann dann sofort vollstrecken.

Ohne Räumungstitel (z. B. Urteil) kann er nicht vollstrecken. Außer natürlich rechtswidrig durch irgendwelche zwielichtigen Gestalten. Wenn es ein vollstreckbares Urteil gibt, gibt es vollstreckungsrechtlich keine Wartefrist. Allerdings setzt der Gerichtsvollzieher eine Frist von ein paar Wochen.