Darf ich nach Arbeitsschluss zur firma fahren (das Grundstück betreten)?

Wenn du auf dem Firmengelände eine Privatarbeit erledigen willst, sollte das immer vorher mit dem Vorgesetzten abgesprochen werden. Sonst kann das - je nachdem, um was genau es sich handelt - zumindest zu einer Abmahnung führen, bei einem groben Verstoß gegen die arbeitsrechtlichen Vorschriften sogar zu einer fristlosen Entlassung. 

Das kommt auf die "geübte Praxis" in dem Unternehmen an. Um Missverständnisse zu vermeiden, würde ich das nie ohne konkrete Absprache machen (es sei denn, es ist irgendwie allgemein vom Arbeitgeber schriftlich erlaubt, insbesondere da in irgendeiner Form Arbeitgebereigentum verwendet wird.

Problematisch ist das übrigens immer die Versicherungsfragen, wenn ein Unfall o. ä. passiert.

Das würde ich immer mit dem Vorgesetzten abklären. Wenn du die Erlaubnis hast, kann dir ja nichts passieren. Und wenn nicht, weißt du wenigstens, dass du es nicht darfst.

Du solltest dir eine Erlaubnis von deinem Chef holen. Die meisten Chefs stimmen zu. Immerhin benutzt du seine Bürogeräte.

Es wäre sehr peinlich, wenn du erwischt wirst. Dann ist das Vertrauen weg. Lohnt sich das?

Wenn die "Privatarbeit" mit deinem Chef abgesprochen ist, dann darfst DU das. Sonst nicht.