Zeitdilatation allgemeine Relativitätstheorie?

Wie bzw kann man dir Zeitdilatation oder den Einfluss von Masse auf die Zeit eines Objektes berechnen ? Ich meine nicht die spezielle Formel t*wurzel(1-…) sondern eben für beschleunigungen/masse

Answer 1

[Reggid]

das hängt immer von der gegebenen raumzeit ab, die wiederum von der massenverteilung abhängt.

allgemein gilt

$\mathrm{d}\tau\ =\ \mathrm{d}t\ \times\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{\mathrm{d}x^{\mu}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}x^{\nu}}{\mathrm{\mathrm{d}t}}}$ wobei tau die eigenzeit ist t eine beliebige zeitkoordinate (je nach koordinatenwahl eben).

im außenraum einer nicht-rotierenden, sphärischen masse hast du zB die metrik.

$\mathrm{d}\tau^2=\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}t^2-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2-r^2\mathrm{d}\phi^2$ (alles in einheiten mit c=1), und damit

$\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}t\times\sqrt{\left(1-\frac{2GM}{r}\right)-\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2-r^2\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\right)^{^2}}$ wenn du die differenz der eigenzeit zweier beobachter zwischen zwei ereignissen (zB wenn sie sich das erste und das zweite mal treffen) berechnen möchtest, dann musst du eben für beide gemäß obiger formel die eigenzeit ausrechnen und dann vergleichen.

für M=0 kommst du wieder zurück zur flachen Minkowski-raumzeit, wo gilt

$\mathrm{d}\tau=\mathrm{d}t\times\sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)^2-r^2\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\right)^2}$ was die formel der speziellen relativitätstheorie ist die du kennst

PS: die spezielle relativitätstheorie kannst du natürlich auch für beschleunigte bewegungen anwenden. so auch obiger formel. "speziell" deutet hier nur auf den spezialfall einer flacher raumzeit hin

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Physiker (Teilchenphysik)