Wurzel ziehen zu einer großen Zahl zweierpotenz?
Ich möchte OHNE Taschenrechner die Wurzel aus 1024 ausrechnen. Ich weis durch die zweierpotenz, dass 2^10=1024 aber wie komme ich mithilfe der 2^10 auf die Lösung, dass Wurzel1024 = 32 ist?
6 Antworten
eine Wurzel hat ja auch eine "Hochzahl" ... den Wurzelexponent
wenn da nix steht
dann ist der Wurzelexponent = 2 (Quadratwurzel)
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wenn Du eine Wurzel aus einer Potenz ziehst, dann kannst Du die Exponenten teilen
also Exponent : Wurzelexponent
10 : 2 = 5
oder mal mit einer Kubikwurzel
12 : 3 = 4
Hallo Eliifff,
aus den Potenzgesetzen
(1) ab∙ac = ab + c
und
(2) (ab)c = ab∙c
kannst Du durch Einsetzen von a = 2 in beiden Fällen und b = c = 5 im ersten und b = 5, c = 2 im zweiten Fall schließen, dass 32² = 1024 sein muss. In diesem Fall wäre auch die 5. Wurzel leicht zu ziehen, weil der Exponent auch durch 3 teilbar ist.
Übrigens kannst Du Wurzeln im Allgemeinen gut annähern, indem Du eine der Binomischen Formeln benutzt. Willst Du Dich z.B. der Quadratwurzel von 1000 nähern, hast Du mit 1024 eine Quadratzahl in der Nähe, auf die Du die 2. Binomische Formel
(3) (a − b)² = a² + 2ab + b² ≈ a² − 2ab
anwenden kannst, indem Du a = 32 und 2ab ≈ 24 setzt. Damit muss a∙b ≈ 32b ≈ 12 sein, und damit ist b ≈ ⅜. Die erste Näherung liefert daher 31⅝, was zwar immer noch zu viel ist, aber deutlich näher an √{1000} liegt als 32 selbst. Und natürlich kann man das wiederholen.
Im konkreten Fall recht einfach
du weißt, dass 30² = 900
und 40²=1600
also muss es was mit 30 sein, weil 900<1024<1600 sein
dann guckst du die 4 hinten an
es kann also nur 32 (2•2=4)
oder 38 sein (8•8 = 64)
und peilst das richtige von den beiden an.
2^10 = 2^5*2^5
Wurzel (2^5*2^5) = 2^5 = 32