Wurzel so weit wie möglich ziehen?
In einer Matheaufgabe steht: Ziehen sie die Wurzel von √32 so weit wie möglich. Die Lösung ist 8√2 Wie mache ich das selber, ohne den Taschenrechner zu verwendung?
EDIT: Lösung ist 4√2, sorry
8 Antworten
Bei den Aufgaben mit √2 kommt die 2 so oft vor, dass man am Ende ganz verwirrt ist. Die Methode heißt "Teilweise Wurzelziehen", und ich denke, es wird mit anderen Zahlen als 2 etwas klarer.
Man sollte sich im kleinen 1x1 so gut auskennen, dass man Quadratzahlen sofort im Kopf hat (wie 2² = 4, 3² = 9; 7² = 49). Weiterhin ist es hilfreich, die Quadratzahlen bis 25 einmal gut gelernt zu haben (11² = 121, ... , 25² = 625). Das reicht meistens, weil das Verfahren schrittweise angewendet werden kann.
Wichtig! Unter der Wurzel sollte die ausgeklammerte Quadratzahl immer nach vorn geschrieben werden.
Beispiele:
√45 = √(9 * 5) = 3 * √5 aus 45 wurde die 9 = 3² nach vorn geholt
√98 = √(49 * 2) = 7 √2 ich verzichte auf * (mal), wo man es darf
√34425 = √(25 * 1377) mehrere Schritte: wenn hinten 25, dann 5² drin
= √(25 * 9 * 153) Quersumme von 1377 ist 9; enthält also 9 = 3²
= √(25 * 9 * 9 * 17) Quersumme von 153 ist 9; enthält nochmal die 9
= 5 * 3 * 3 √17 = 45 √17
Die Lösung ist nicht korrekt.
8√(2)=1.0905077326652577
Auch 8*√(2) ist ungleich √32
√32 = 2*√16
√32 = 4*√2
8√2 ist falsch!
√32
= √(4*4*2)
= √4*√4*√2
= 2 * 2 * √2
Noch eine weitere Methode, die so noch nicht erwähnt wurde:
Du zerlegst den Term unter der Wurzel in seine kleinsten Faktoren (hier kann man jeweils das "Resultat" darüber schreiben, dann muss man es sich nicht im Kopf behalten).
16 8 4 2
32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 -> 32:2 = 16 -> 16:2=8 -> ...
Also hast du √32 = √(2*2*2*2*2)
Nun kannst du jeden Faktor, den du doppelt hast, "herausnehmen" und dabei die Wurzel davon ziehen (also sozusagen einen von zwei "herausnehmen" und den anderen "streichen").
√(2*2*2*2*2) = 2*2*√2 = 4*√2
Diese Methode finde ich sehr hilfreich, wenn man grössere Zahlen unter der Wurzel hat, du du nicht nach den richtigen Faktoren "suchen" musst...
√(a * b) = √(a) * √(b)
Nun zerlegt man 32 in zwei ganze Zahlen größer als 1, und zwar so, dass wenigstens eine Zahl dabei ist aus der man die Wurzel leicht ziehen kann.
Das trifft auf alle Quadratzahlen zu.
http://www.schule-studium.de/Mathe/Java-Programme/Quadratzahlen.html
32 = 16 * 2
a * b = 32, a = 16, b = 2
√(32) = √(16) * √(2) = 4 * √(2)
Selbstverständlich könnte man auch folgende Zerlegung machen -->
32 = 9 * (3 + 5 / 9)
a * b = 32, a = 9, b = 3 + 5 / 9
√(32) = √(9) * √(3 + 5 / 9) = 3 * √(3 + 5 / 9)
Aber dann wären es nicht mehr zwei ganze Zahlen, weil 3 + 5 / 9 keine ganze Zahl ist, aber manchmal ist so eine Zerlegung auch ratsam, wenn man wegkürzen will zum Beispiel.