Wurzel so weit wie möglich ziehen?
In einer Matheaufgabe steht: Ziehen sie die Wurzel von √32 so weit wie möglich. Die Lösung ist 8√2 Wie mache ich das selber, ohne den Taschenrechner zu verwendung?
EDIT: Lösung ist 4√2, sorry
8 Antworten
Bei den Aufgaben mit √2 kommt die 2 so oft vor, dass man am Ende ganz verwirrt ist. Die Methode heißt "Teilweise Wurzelziehen", und ich denke, es wird mit anderen Zahlen als 2 etwas klarer.
Man sollte sich im kleinen 1x1 so gut auskennen, dass man Quadratzahlen sofort im Kopf hat (wie 2² = 4, 3² = 9; 7² = 49). Weiterhin ist es hilfreich, die Quadratzahlen bis 25 einmal gut gelernt zu haben (11² = 121, ... , 25² = 625). Das reicht meistens, weil das Verfahren schrittweise angewendet werden kann.
Wichtig! Unter der Wurzel sollte die ausgeklammerte Quadratzahl immer nach vorn geschrieben werden.
Beispiele:
√45 = √(9 * 5) = 3 * √5 aus 45 wurde die 9 = 3² nach vorn geholt
√98 = √(49 * 2) = 7 √2 ich verzichte auf * (mal), wo man es darf
√34425 = √(25 * 1377) mehrere Schritte: wenn hinten 25, dann 5² drin
= √(25 * 9 * 153) Quersumme von 1377 ist 9; enthält also 9 = 3²
= √(25 * 9 * 9 * 17) Quersumme von 153 ist 9; enthält nochmal die 9
= 5 * 3 * 3 √17 = 45 √17
Die Lösung ist nicht korrekt.
8√(2)=1.0905077326652577
Auch 8*√(2) ist ungleich √32
√32 = 2*√16
√32 = 4*√2
8√2 ist falsch!
√32
= √(4*4*2)
= √4*√4*√2
= 2 * 2 * √2
√(a * b) = √(a) * √(b)
Nun zerlegt man 32 in zwei ganze Zahlen größer als 1, und zwar so, dass wenigstens eine Zahl dabei ist aus der man die Wurzel leicht ziehen kann.
Das trifft auf alle Quadratzahlen zu.
http://www.schule-studium.de/Mathe/Java-Programme/Quadratzahlen.html
32 = 16 * 2
a * b = 32, a = 16, b = 2
√(32) = √(16) * √(2) = 4 * √(2)
Selbstverständlich könnte man auch folgende Zerlegung machen -->
32 = 9 * (3 + 5 / 9)
a * b = 32, a = 9, b = 3 + 5 / 9
√(32) = √(9) * √(3 + 5 / 9) = 3 * √(3 + 5 / 9)
Aber dann wären es nicht mehr zwei ganze Zahlen, weil 3 + 5 / 9 keine ganze Zahl ist, aber manchmal ist so eine Zerlegung auch ratsam, wenn man wegkürzen will zum Beispiel.
Was hier verlangt wird, nennt sich teilweises Radizieren.
Der Radikant einer Wurzel wird hierbei in zwei Faktoren zerlegt, wobei einer dieser Faktoren eine natürliche Wurzel besitzt (also eine Quadratzahl ist).
Wie kannst du die Zahl 32 in einen beliebigen Faktor und eine Quadratzahl zerlegen?
Es gibt mehrere Möglichkeiten - mal mehr, mal weniger schlau.
Prinzipiell kannst du 32 in ein Produkt aus einem bestimmten Faktor und einer BELIEBIGEN Quadratzahl verwandeln.
Beispiele dafür sind:
√32 = √(16*2) = √16 * √2 = 4√2
√32 = √(36 * 32/36) = √36 * √(32/36) = 6√0,8888...
√32 = √(6,25 * 5,12) = √6,25 * √5,12 = 2,5√5,12
Du siehst, es gibt unendlich viele Möglichkeiten.
Erstere ist hierbei dennoch die naheliegendste und beste.
Grundsätzlich zerlegst du die Zahl einfach in ein entsprechendes Produkt und kannst durch das Wurzelgesetz
√(ab) = √a√b
die Wurzel aus dem ersten (oder zweiten) Faktore ziehen.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi