Wo ist genau der Zusammenhang zwischen der Sinuskurve, Pi und einem Kreis?

6 Antworten

Die Zahl π ist ja nichts weiter, als der berechnete Faktor, mit welchem man den Durchmesser multipliziert, um den Umfang zu erhalten. π ist die einzige Konstante im Kreis, auch wenn man die Fläche berechnet. Alles andere sind Variablen.

Der Zusammenhang von Kreis und Sinus ist auch recht einfach: Man nimmt einen Kreis und teilt den Umfang in Grade ein. Der Mittelpunkt des Kreises ist die Nulllinie bzw. Zeitachse.

Dann überträgt man diese Grade beginnend mit 0° auf die Zeitachse und findet den jeweiligen Schnittpunkt dort, wo sich im Kreis die zugehörige Amplitude befindet.

Die Sinuswelle ist also eigentlich nur der abgerollte Kreis, dessen Umfang auf der Zeitachse wiederzufinden ist.

Ich habe jetzt nur ein Beispiel für unsere Haushaltsspannung von 230 V. Aber das Prinzip ist immer gleich. Vielleicht hilft Dir das Diagramm ja weiter:

 - (Schule, Mathematik, Physik)

Betrachte den Einheitskreis (Kreis mit dem Radius 1 um den Nullpunkt in einem kartesischen x-y-Koordinatensystem). Zeichne nun einen Winkel, beginnend in (0/0), in den Kreis ein . Der betrachtete Winkel ist dann der zwischen der Abszisse (x-Achse) und der eingezeichneten Geraden => du erhältst quasi ein Kreissegment.

In der Mathematik ist der natürliche Drehsinn immer gegen den Uhrzeigersinn. Jetzt betrachtest du den Schnittpunkt der eingezeichneten Geraden und der Kreislinie. Diesen Punkt nennen wir (x/y) und wird natürlich von dem Winkel alpha abhängen, also (x(alpha)/y(alpha)).

Wie erhältst du x und y? x ist einfach cos(alpha) und y ist sin(alpha). Der cos ist für 0 ja 1 und der sin ist 0 => Winkel = 0, Gerade liegt entlang der Abszisse => Schnittpunkt (1/0).

Winkel 90 Grad = Pi/4 => sin(Pi/4)=1, cos(Pi/4)=0 => Gerade liegt entlang der Ordinate => (0/1) usw.

Der Umfang im Kreis beträgt U=2*Pi*r, der Durchmesser D=2*r => Verhältnis aus Umfang zu Durchmesser = 2*Pi*r/(2*r) = Pi. Pi ist also nur das Verhältnis aus dem Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser.

Wenn du wirklich tief vordringen willst solltest du dir ansehen wie die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen zusammenhängen. exp(ix) = cos(x) + i*sin(x) (Euler'sche Identität).

Die Exponentialfunktion erhältst du als Umkehrfunktion des Logarithmus. Hier stellt der natürliche Logarithmus (mit der e-Funktion als Umkehrung) eine kleine Besonderheit dar.

Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1("Einheitskreis") beträgt 2*pi.

Von daher kannst du den Winkel auch angeben als die Länge des Kreisbogens (=Bogenlänge) am Einhietskreis, die "zurückgelegt" wird, wenn man einen bestimmten Winkel überstreicht. So entspricht 360° also 2*pi, 180° entspricht pi, 36° 2*pi/10, usw...

Wenn du den Einheitskreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung zeichnest dann verläuft nach links die x-Achse und nach rechts die y-Achse.

Nimm einen beliegen Punkt auf dem Kreis: der Abstand zur x-Achse ist der Sinuns jenes Winkels, den der Radius zu diesem Punkt mit der x-Achse einschließt.

Wenn du nun die Sinusfunktion in einem (anderen) Koordinatensystem einzeichnest, so trägst du auf der y-Achse den Sinus auf (wird wie oben ermittelt beschrieben) und auf der x-Achse die dazugehörige Bogenlänge.

Wenn du hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition

ein wenig nach oben scrollst, siehst du auch eine anschauliche Animation des Zusammenhangs.

Physik-Experiment (Kerze, Glas)

Hallo, Die folgende Aufgabe sollen wir im Phyiskunterricht loesen. Wir haben das Experiment bereits durchgeführt, aber wir wissen die physikalischen Hintergründe nicht (kerze ging aus). Kannes jemand physikalisch erklären?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Aufgabe: Stelle das angezündete Teelicht in den Deckel des Glases und verschliesse es. Beobachte wie lange die Kerze ungefähr nich brennt. Du darst natürlich auch eine Uhr mit Sekundezeiger benutzen. Nun wiederhole den Versuch mit folgender Abänderung der Durchführung. Steige auf den Experimentiertisch. Zünde die Kerze an und verschliesse das Glas. Lasse es unmittelbar nach dem Verschliessen auf die weiche Matte fallen, welche du vorher auf dem Fussboden platziert hast. Was stellt du fest? Erläutere die physikalischen Hintergründe.

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