Winkel Epsilon eines Parallelogramms mit sin(-Satz), cos(-Satz), tan berechnen?
Hallo,
in einer Aufgabe des Mathematikbuches "Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasiasten - Schleswig-Holstein" heißt es: Welchen Winkel Epsilon bilden die beiden Diagonalen e und f eines Parallelogramms ABCD miteinander, wenn die Seite a dreimal so lang ist wie die Seite b und die Diagonale e zweieinhalb mal so lang ist wie die Seite b?
Im Bild sieht man die Skizze des Parallelogramms um das es geht! Ich und viele andere verzweifeln an dieser Aufgabe. Wie kann man diese Aufgabe lösen?
MFG PC2004
2 Antworten
AD = BC = b = 1
AB = CD = a = 3
AC = e = 2,5
M = Schnittpunkt der Diagonalen
Im Dreieck ABC Alle Winkel berechnen (Sinus- bzw. Cosinussatz) --> Alpha, Beta und Gamma
Winkel im Dreieck ABC bei A (Alpha) ist gleich dem kleinen Teilwinkel in B (gedachtes Dreieck ABM) --> nennen wir in Beta1
Dreieck MBC --> Winkelsumme 180°
Winkel in Gamma ist bekannt aus der Berechnung im Dreieck ABC
Der neue Winkel Beta2 ergibt sich aus Beta - Beta1
180 - Gamma - Beta2 = Epsilon
epsilon = 30,34°
Lösung über mehrfache Anwendung des Cosinussatzes, erst im Dreieck ABC, dann im Dreieck ACD. Das b bzw. b² kürzt sich jeweils heraus.
Danach Berechnung von f in Abhängigkeit von b auch mittels Cosinussatz (f = 3,708b).
Berechnung der Winkel in Dreieck BDC
Damit lassen sich die Winkel im Kreuzungspunkt der Diagonalen als einfache Differenzen ermitteln.