Wieso rechnet man bei der Mantelfläche eines Kegels pi mal r mal s?
Eigentlich heisst das ja "Umfang des Grunkreises mal Mantellinie". Aber ist der Umfang eines Kreises nicht "Durchmesser mal pi" also "2 mal Radius mal pi"? Bei der Kegelformel steht bloß: pi mal r mal s. Kann mir jemand das erklären?
3 Antworten
Auf Wikipedia ist es ziemlich gut beschrieben. Steöll dir vor du shcneidest den Mantel an einer Seite auf und klappst das Gebilde quasi auf, dann erhältst du einen Teil eines Vollkreises dessen radius s ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29#Mantelfl.C3.A4che
der mantel ähnelt einem dreieck A=gxh/2 und wenn du für g jetzt 2xpixr und für h dann s einsetzt, dann kürzen sich die zweien weg. gruß ej
Stell die den Kegel zerschnitten vor in viele kleine Kreisscheibchen.
Das größte ganz unten hat den Umfang 2 pi r, das stimmt schon. Das oberste ganz oben an der Spitze ist ein Punkt mit Umfang 0. Der "mittlere" Umfang (Durchschnitt aller Scheibchen) ist gerade pi r. Das mal Mantellinie ergibt die o.g. Formel.
Eine interessante "Herleitung" (DH). Man sollte aber noch anmerken, dass dieses Vorgehen nur deshalb funktioniert, weil durch die lineare Steigung in halber Höhe etc. auch der Umfang die Hälfte beträgt. Bei einer Kugel beispielsweise funktioniert das selbstverständlich nicht mehr.
Bei diesem Teilkreis ist der Kreisbogen aber doch so lang wie der Umfang des Grundkreises des Kegels. Rechne ich jetzt die Mantelfläche durch s, müsste ich laut der Formel den genannten Umfang erhalten. Den habe ich dann durch 2pi geteilt um den Radius des Grundkreises des Kegels zu erhalten. Wenn ich diesen Radius jetzt aber in die Formel für die gesamte Oberfläche des Kegels einsetze, erhalte ich ein Ergebnis, das niedriger ist als die Mantelfläche. Das darf ja nicht sein.
Hätte ich dann den Umfang nicht durch 2pi sondern einfach durch pi rechnen sollen?