Wieso kann eine Funktion 3. Grades nur höchstens 3 und mindestens 1 Nullstelle haben?

7 Antworten

Gäbe es eine Polynomfunktion 3. Grades mit mindestens 4 Nullstellen so hätte deren Ableitung nach dem Satz von Rolle mindestens 3 Nullstellen, die zweite Ableitung mindestens 2 Nullstellen und die dritte Ableitung mindestens eine Nullstelle. Das kann aber nicht sein, da die dritte Ableitung konstant und ungleich 0 ist.

Um zu zeigen, dass es mindestens eine Nullstelle gibt, musst du dank dem Zwischenwertsatz nur zeigen, dass es für jedes normierte Polynom p(x)=x^3+a2*x^2+a1*x+a0 Werte x1,x2 gibt, so dass p(x1)<0 und p(x2)>0 gibt. Zum Beispiel x1=-3M und x2=3M mit M=max(1,|a0|,|a1|,|a2|) funktioniert.

Wegen dem Bildungsgesetz

y=f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a

x1,x2 und x3 sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)

Das Ganze wird dann noch mal mit a multipliziert

x2=x3 hier ist dann eine doppelte Nullstelle.der Graph berührt dann nur die x-Achse

y=f(x)=(x-0)*(x-0)*(x-o)*a ergibt y=f(x)=a*x³ geht durch den Ursprung und hat nur eine Nullstelle bei x=0

Eine kubische Funktion hat aber immer einen Wendepunkt

oder y=f(x)=(x-2)*(x-2)*(x-2)*1=1*(x-2)³ hat die Nullstelle bei x=2 und dort ist auch der Wendepunkt.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Irgendwie logisch .. sie hat eine S oder gespielte S-Form liegend

Entweder liegt der ganze Körper oberhalb der x Achse oder unterhalb.

--> eine Nullstelle

Sie kann natürlich auch mit einem der Bögen durch die x-Achse gehen --> 2 Nullstellen

Für 4 bräuchtest du 4rten Grades, sieht wie ein W oder M aus.

Schau dir einfach mal die Möglichkeiten an, wie der Graph einer Funktion 3. Grades verlaufen kann.

► "Gar keine Nullstelle" ist unmöglich, weil es immer sowohl pos. als auch neg. Funktionswerte gibt. Dann muss also mind. einmal zwischendurch die x-Achse geschnitten werden.

► "Mehr als 3 Nullstellen" ist ebenfalls unmöglich - so viele Wendungen machen Funktionen 3. Grades nicht.

Hätte er mehr, würde die Zerlegung in Faktoren (x - Nullstelle) einen größeren Grad als drei ergeben. Eine muss da sein, da das Verhalten für x gegen +- unendlich unterschiedlich ist.

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