Wieso funktioniert Multiplikation mit der Normalparabel?

7 Antworten

Die These:

Die Verbindungsgerade zweier Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂), die auf dem Graphen der Normalparabel n(x) = x² liegen, schneidet die y-Achse an der Stelle y = -x₁*x₂.

Berechnen wir die Steigung der Gerade mit der allgemeinen Steigungsformel:

        y₂ - y₁
m = ———
        x₂ - x₁

Zwei Variablen sind immer schlecht, daher setzen wir für y den Funktionsterm x² ein:

        (x₂)² - (x₁)²
m = —————
            x₂ - x₁

Rufe dir nun die dritte binomische Formel in Erinnerung:

(a + b)(a - b) = a² - b²

Wir können sie im Zähler anwenden:

        (x₂ + x₁)(x₂ - x₁)
m = ———————
               x₂ - x₁

Den Ausdruck x₂ - x₁ kannst du nun kürzen:

m = x₂ + x₁

Kürzen darfst du nur, da x₂ immer positiv und x₁ immer negativ ist. Subtrahierst du eine negative Zahl von einer positiven Zahl, so erhältst du immer ein Ergebnis, das größer als der Minuend der Differenz und somit nicht 0 ist. 

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

g(x) = (x₂ + x₁)*x + t

Setze nun einen beliebigen Punkt ein:

P(x₁ | y₁)

y₁ = (x₂ + x₁)x₁ + t

Das y₁ können wir wieder durch (x₁)² ersetzen:

(x₁)² = (x₂ + x₁)x₁ + t

Ausmultiplizieren:

(x₁)² = x₁*x₂ + (x₁)² + t           |-(x₁)²

0 = x₁*x₂ + t                          |-(x₁*x₂)

t = -x₁*x₂

q. e. d.

Wir haben sogar noch etwas Spannendes herausgefunden:

Die Steigung der Verbindungsgeraden entspricht der Summe der beiden x-Werte.

Also können wir folgendes aussagen:

Schneidet eine Gerade zwei Punkte, die auf der Normalparabel liegen, so entspricht die Summe der beiden x-Werte der Steigung der Geraden und das negative Produkt der beiden x-Werte dem y-Achsenabschnitt der Geraden.

Kurz: g(x, x₁, x₂) = (x₁ + x₂) * x + (x₁ * x₂)

Das ist auch logisch, denn, wenn zwei Punkte Geraden bekannt sind, muss sich daraus eine eindeutige Geradengleichung aufstellen lassen!

Daraus folgt, dass diese nur von den beiden Punkten abhängen darf - und das tut sie. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Hallo,

Du meinst, wenn man die Punkte (2|4) und (-3|9) der Normalparabel y=x² verbindet, schneidet die Verbindungslinie die y-Achse bei 2*3=6.

Allgemein: Die Verbindung zwischen (-x1|(-x1)²) und (x2|(x2²) auf dem Funktionsgraphen von f(x)=x² schneidet die y Achse beim Punkt (0|x1*x2).

Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, hat die Steigung 
[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]

Sie hat demnach die Geradengleichung g: {[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]]*x2+b=x2²

Um es übersichtlicher zu gestalten, nenne ich x1 m und x2 n:

[(n²-m²)/(n+m)]*n+b=n²

n²-m²=(n+m)*(n-m)

[(n+m)*(n-m)]/(n+m)=n-m, wenn (n+m) ungleich Null.

(n-m)*n+b=n²

n²-mn+b=n²

Daraus folgt, daß b=mn, denn n²-mn+mn=n² (wahr)

b aber ist in der allgemeinen Geradengleichung y=mx+b der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.

Das Produkt der beiden x-Koordinaten zweier Punkte auf der Normalparabel, die sich rechts und links von der y-Achse befinden, multipliziert mit (-1), ist somit der Schnittpunkt der Geraden, die beide Punkte verbindet, mit der y-Achse.

Herzliche Grüße,

Willy


Das ist gar nicht so schwer:

Gegeben, zwei Punkte auf der Parabel: (x₁,y₁) und (x₂,y₂) 

mit y₁ = x₁² und y₂ = x₂²

Durch die beiden Punkte geht eine Gerade Y = m X + b mit

m = (x₂² − x₁²)/(x₂− x₁) = {(x₂ + x₁) (x₂ − x₁)}/(x₂ − x₁) = (x₂ + x₁)

Weil (x₂,y₂) auf der Geraden liegt gilt:

y₂ = x₂² = (x₂ + x₁) x₂ + b ⇌ b = − x₁x₂

Die Geradengleichung lautet also:

Y = (x₂ − x₁) X - x₁x₂

und schneidet die Y-Achse bei X = 0 ⇌ Y = − x₁x₂

q.e.d.

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