Wieso funktioniert Multiplikation mit der Normalparabel?
In Mathe sollen wir herausfinden wieso man mit der Normalparabel multiplizieren kann und wieso das immer klappt. Wir hatten das Beispiel 2×3=6. Wenn man von Punkt 2 zu Punkt 3 eine Gerade zieht schneidet diese Gerade ja die y-Achse den Punkt 6 also das Produkt von 2 und 3 wieso funktioniert das so und auch mit anderen Zahlen?
7 Antworten
Hallo,
Du meinst, wenn man die Punkte (2|4) und (-3|9) der Normalparabel y=x² verbindet, schneidet die Verbindungslinie die y-Achse bei 2*3=6.
Allgemein: Die Verbindung zwischen (-x1|(-x1)²) und (x2|(x2²) auf dem Funktionsgraphen von f(x)=x² schneidet die y Achse beim Punkt (0|x1*x2).
Die Gerade, die durch diese beiden Punkte geht, hat die Steigung
[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]
Sie hat demnach die Geradengleichung g: {[x2²-(-x1)²][x2-(-x1)]]*x2+b=x2²
Um es übersichtlicher zu gestalten, nenne ich x1 m und x2 n:
[(n²-m²)/(n+m)]*n+b=n²
n²-m²=(n+m)*(n-m)
[(n+m)*(n-m)]/(n+m)=n-m, wenn (n+m) ungleich Null.
(n-m)*n+b=n²
n²-mn+b=n²
Daraus folgt, daß b=mn, denn n²-mn+mn=n² (wahr)
b aber ist in der allgemeinen Geradengleichung y=mx+b der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Das Produkt der beiden x-Koordinaten zweier Punkte auf der Normalparabel, die sich rechts und links von der y-Achse befinden, multipliziert mit (-1), ist somit der Schnittpunkt der Geraden, die beide Punkte verbindet, mit der y-Achse.
Herzliche Grüße,
Willy
das ist eine interessante Frage; allerdings wird die y-A
chse bei -6 von der Geraden geschnitten.
Wenn man z.B. die Punkte f(2) und f(3) miteinander verbindet, schneidet die damit gebildete Gerade die y-Achse im Punkt f(0)= -6 statt wie erwartet 2×3=6. Somit wäre der Gegenbeweis erbracht. Bei z.B. 3×(-4) würde nicht mal mehr der Betrag der Zahlenwertes stimmen.
Wohlgemerkt bezieht sich diese Aussage auf deine Ausführung. Ansonsten habe ich t.B. genug Beweise und --tatsächliche Vorgehensweisen-- der Normalparabel-Multiplikation mit Erklärung in nicht mal 20 Sekunden bei Google gefunden - das schaffst du auch ;)
Sieht schon viel besser aus. ^^
Flüchtigkeitsfehler können dir in der Mathematik das Genick brechen, wirklich!
LG Willibergi
Ja, ich weiß, die letzten Vorlesungen und Klausuren sind schon länger her - da gewöhnt man sich das eine oder andere ja leider auch wieder ab 😁
ich habe zwar mich auch selbst am Beweis versucht und es auch hergeleitet bevor ich gegoogelt habe, aber bevor ich das alles hier abtippe, verweise ich lieber auf http://www.mikrocontroller.net/topic/164391 :)
Was ist Punkt 2 und was ist Punkt 3?
Wenn du die Koordinaten angibst, kann die These bewiesen werden.
LG Willibergi
Wenn schon, denn schon - mit nur einem Beispiel/Punktepaar ist die These nicht bewiesen. Algebraisch beweisen kann man das in allgemeiner Form - dafür werden keine Koordinaten benötigt 😉
Wenn ich aber nicht mal weiß, was der FS meint, kann ich seine These schlecht beweisen.
Mit dem Beispiel-Punktepaar erkenne ich nun, was er meint.
Beweise müssen sogar in allgemeiner Form gebracht werden - das werde auch ich tun. ^^
LG Willibergi
bevor du dir zu viel mühe zum tippen gibst, hier für copy-paste für eventuelle ergänzungen und erklärungen :) http://www.mikrocontroller.net/topic/164391
Nimm 2 Punkte, die auf der Parabel liegen: U und V
U (u / u²), V (v / v²)
Die Steigung k durch die Verbindungsgerade ("Delta-y / Delta-x)
k = (u²-v²)/(u-v)
Um die Geradengleichung y = kx+d zu erhalten, einen der Punkte einsetzen:
u² = (u²-v²)/(u-v) * u + d
-> d = u² - u *(u²-v") / (u-v) = u * (u - (u²-v²) / (u-v) ) =
= u * (u² - uv - (u² - v²)) / (u-v) = u * (u² - uv - u² + v²) / (u-v) =
= u * (v²-uv) / (u-v) = u * (v * (v-u) / (u-v)) = u * (v * (-1)) = -uv
d ist also -uv
Die Geradengleichung durch die beiden Punkte lautet also:
y = (u²-v²)/(u-v) * x - uv
Wenn man x = 0 setzt erhält man d, den Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.
Also schneidet die Gerade, die durch U und V geht, die y-Achse bei -uv
was zu zeigen war.
Natürlich meinte ich (2; f(2)) und (3; f(3)), entschuldige bitte den Flüchtigkeitsfehler 😉