Wie zeige ich, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist?
Ist (Xn)n∈N eine unabhaengige Familie von Zufallsvariab-
len mit P[X_n = −1] = P[X_n = +1] = 1/2 , und ist S_n = X_1 + . . . + X_n fuer jedes
n ∈ N, so ist lim sup_{n→∞} S_n = ∞ fast sicher.
Ich komm da nicht weiter, ich muss das Kolmogorov'sche 0-1 Gesetz anwenden.
Wenn S*:= lim sup_{n→∞} S_n, dann muss ich zeigen: P(S*=∞)=1.
Das ist bisher mein Ansatz, bringt mir aber auch nicht wirklich weiter:
1 = P(S*=∞) =lim_{n-->∞} P(S* >=n) = 1 - lim_{n-->∞} P(S*<=n)
1 Antwort
Es gilt:
p(Xn = -1) = 0.5
p(Xn = +1) = 0.5
Daraus folgt:
p(Xn = -1) + p(Xn = +1) = 1
Daraus folgt, dass Xn nur die Ereignisse -1 und +1 annehmen kann.
X1,...,Xn ist somit eine zufällige Folge von -1 und +1.
Für
Sn = X1 + ... + Xn
gilt dann
-n <= Sn <= +n
Der Limes Superior von Sn ist der größte Wert, den Sn erreicht, wenn n gegen ∞ geht. Da die Xn unabhängig und gleichverteilt sind, wird Sn immer wieder neue Maximal- bzw. Minimalwerte erreichen.
Daraus folgt:
lim sup{n → ∞} Sn = +∞
lim inf{n → ∞} Sn = -∞