Wie schnell müsste sich die Erde drehen, damit die Gewichtskraft am Äquator durch die Erdrotation um 1% vermindert würde und wie lang wäre dann ein Tag?

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3 Antworten

Gewichtskraft am Äquator: Stelle Dir die Erde als Punktmasse vor, sämtliche Masse im Mittelpunkt vereint, dann rechne mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz, das für Punktmassen gilt. Nicht mit "F = m * g" rechnen. Das gilt nur für "homogene Gravitationsfelder" und im Ortsfaktor g ist die Erdrotation auch schon teilweise berücksichtigt. Bezeichne diese Kraft als F_g (Gravitationskraft).

Dann Formel für die Zentripetalkraft einer Kreisbewegung suchen, Radius (r) = Erdradius am Äquator (googeln!), Winkelgeschwindigkeit (Omega) = 2 * Pi / (24 * 60 * 60 s), denn die Erde macht (zumindest "so grob") eine volle Umdrehung (2 * Pi) pro Tag. Bezeichne diese Kraft als F_z (Zentripetalkraft).

Dann die Kräfte gleichsetzen mit dem Vorfaktor 0.01 auf der richtigen Seite.

F_z = 0.01 * F_g

m * Omega² * r = 0.01 * G * M * m * r^2

Dann nach Omega auflösen. Masse m des "Probekörpers" kürzt sich heraus, M Masse der Erde (etwa 5.974 * 10^24 kg), r ist der Erdradius am Äquator, G die Gravitationskonstante (etwa 6.674 * 10^-11 m³ / (kg * s²)).

Ich hatte in meinem Studium diese Aufgabe in der Variante, wie schnell die Erdrotation sein müsste, um die Gravitationskraft am Äquator zu kompensieren, sodass man dort schwerelos ist. Dafür musste man die Kräfte dann ohne Faktor gleichsetzen und es kam natürlich eine höhere Geschwindigkeit und eine kürzere Dauer eines Tages dabei heraus.

Viel Erfolg!

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Kommentar von NoHumanBeing
15.01.2016, 20:58

Narrf!

Es muss natürlich heißen: m * Omega² * r = (0.01 * G * M * m) / (r^2)

Das Abstandsquadrat auf der rechten Seite steht im Nenner.

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Hallo,

ich würde folgenden Ansatz wählen. Die normale Erdbeschleunigung beträgt ungefähr 9,8 m/s². Ein Prozent weniger wäre etwa 9,7 m/s², also 0,1 m/s², die durch eine erhöhte Erdrotation bewirkt werden müßten. Die Formel für die Zentripetalkraft lautet a=v²/r, also v²=a*r.

a=0,1, r=6300000 m. Dann ist v²=630000 m und v die Wurzel daraus. etwa 794 m/s.

Um diese Geschwindigkeit müßte sich die Erde also schneller als üblich drehen, damit jemand am Äquator 1% weniger Gewichtskraft auf die Waage bringt.

Die normale Rotationsgeschwindigkeit am Äquator etwa 463 m/s.

Die 794 m/s müßtest Du dazu addieren, um auf die gewünschte Geschwindigkeit zu kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von NoHumanBeing
15.01.2016, 20:53

Die normale Erdbeschleunigung beträgt ungefähr 9,8 m/s².

Im Ortsfaktor ist aber die Erdrotation bereits einkalkuliert. Bei einer solchen Aufgabe würde ich mit dem Newton'schen Gravitationsgesetz rechnen.

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Bekommst du die länge eines Tages alleine raus? 

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Kommentar von pimboli12
15.01.2016, 21:00

Danke für die extra Rechnung! :) Bin aber ein bisschen verwirrt was den Äquatorradius angeht, der wurde doch in der Rechnung gar nicht mit einbezogen..? Oder muss ich das gar nicht?

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Kommentar von NoHumanBeing
15.01.2016, 21:32

Du brauchst keine Masse für die Rechnung, das kürzt sich am Ende alles heraus.

Es ist auch "schlechter Stil", Zahlen auszurechnen. Eigentlich setzt man solange Formeln ineinander ein, wie möglich und nur gaaaanz am Ende die Zahlen, um den Rundungsfehler möglichst klein zu halten.

Auch Hochzahlen für "zweite Masse" oder ähnliches zu verwenden, ist äußerst irritierend. Hochzahlen stehen in der Mathematik nunmal für Potenzen. Zum Durchnummerieren einer Größe bitte tiefgestellte Zahlen verwenden!

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