Wie löst mein eine Kurvendiskussion mit 2 Unbekannten und ohne erkennbaren Ansatz?

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6 Antworten

Dies ist eine einfache Kurvendiskussion ,wo t eine Konstante ist und x die unabhängige Variable.

ft(x)= 2 *t *x *(x -1/t)^2 binomische Formel (x -b)^2=x^2 -2 *b *x *b^2

(x-1/t)^2= x^2 - 2 * 1/t *x + 1/t^2 multipliziert mit 2 *t *x ergibt

ft(x)=2 *t *x^3 - 4 *x^2 + 2/t * x dies ist eine Funktion 3.Grades mit nur terme von x , also ist eine Nullstelle bei x=0

nun ein x ausgeklammert

ft(x)= x *(2 *t *x^2 - 4 *x + 2/t) weitere Nullstellen,wenn der Klammerausdruck zu Null wird. Lösung mit der p-q-Formel siehe Mathe-Formelbuch .Die Rechnerei ist mir hier zu viel Arbeit

Funktion 3.Grades  f(x)=a2 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +a0

abgeleitet f´(x)= 3 * a3 *x^2 + 2 *a2 * x +a1

nochmal f´´(x)=6 *a3 *x +2 *a2

nochmal f´´´(x)= 6 *a3

Bedingung für Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0

Minimum f´´(x)=0 und f´´(x) >0

Dies sind die Bedingungen für die weitere Rechnung.

mit a3= 2 *t und a2= -4 eingesetzt in f´´(x)

f´´(x)= 6 *2 *t *x + 2 *8-4) ergibt xw=8/(12 * t) = 2/3 * 1/t .

Dies ergibt den Wendepunkt,wenn man die Konstante t verändert.

Das Selbe macht man auch mit den Extremwerten "Maximum" und "Minimum"

Der Rechenweg ist genau so,wie mit einer normalen Zahl.Hier ist eben der Buchstabe t als Konstante. 

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Zunächst tust du so. als sei t gar nicht da und machst eine Kurvendiskussion, als habest du eine gewöhnliche Kurve. t behandelst du wie ein Zahl.
Die Ableitung von 3 t x² ist dann eben 6 t x.

Denn es handelt sich nicht um eine Kurve, sondern um unendlich viele, eine so genannte Kurvenschar, von denen einige gemeinsame Eigenschaften haben, die man im zweiten Anlauf herausbekommen kann.

BTW: die Kurvenscharen sind die Notwehr der Mathelehrer gegenüber Taschenrechnern, die schon ganze Kurvendiskussionen machen können. Bei Kurvenscharen scheitern sie einstweilen. Da müssen Schüler wieder überlegte Eingaben machen.

Fang einfach mal an. Wenn du Fragen hast, schreib einen Kommentar. Die Frage ist auf meinem Merkzettel.

f₅(x) bedeutet dann nachher die Funktion, bei der t = 5 ist,
usw.

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Kommentar von Wechselfreund
14.02.2016, 16:08

BTW: die Kurvenscharen sind die Notwehr der Mathelehrer gegenüber Taschenrechnern, die schon ganze Kurvendiskussionen machen können. Bei Kurvenscharen scheitern sie einstweilen. Da müssen Schüler wieder
überlegte Eingaben machen.

Das wird dann sicher die nächste GTR-Generation beherrschen. Die übernächste funktioniert über Spracheingabe...

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Kommentar von Volens
14.02.2016, 17:03

Hier mal die Ausführung für die Nullstellen:

Bedingung:             f(x) = 0                          t ≠ 0 (gilt sowieso)
ft(x):       2tx * (x - 1/t)² = 0

1. Fall:          2tx = 0     | /2t
                      x₁ = 0
2. Fall:   (x - 1/t)² = 0    | √
            ±(x - 1/t) = 0

               x - 1/t  = 0
                      x₂ = 1/t

             -x + 1/t  = 0
                     x₃  = 1/t

Das ergibt 2 Nullstellen:

x = 0      gibt es bei allen Kurven der Schar.

x = 1/t    sind zwei zusammenfallende, also Berührung der x-Achse
             in Abhängigkeit von t.

Und jetzt kommt's:
Für f 2/9(x) sind das die Nullstellen    x₁ = 0      x₂ = 9/2 = 4,5

Aus der einmaligen Berechnung für die Kurvenschar kann man das für die Einzelkurve vorhersagen.


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Schnittpunkte: f(0) und f(x)=0
Bei f(x)=0 wirst du bemerken, dass dein t bleiben wird, d.h. du wirst bei der pq-Formel z.B. etwas stehen haben wie x= t +/- Wurzel aus t^2-8 (das ist jetzt nur ein Beispiel). Dann musst du eine fallunterscheidung machen, also umformen. Je nachdem was rauskommt, kannst du angeben wie viele nullstellen es gibt. Auch bei den extremstellen musst du dann wieder eine fallunterscheidung durchführen. Am besten wäre es, wenn du dir ein Beispiel suchst, dann kannst du deine Aufgabe anhand des Beispiels rechnen

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t ist zwar unbekannt aber fest, es wird im Index von K angegeben. Bei der Kurve, die du zeichnen sollst ist t= 2/9.

Berechne die Nullstelle, Extrem- und Wendepunkte symbolisch für t. Du erhältst dann Lösungsformeln, in die du t einsetzen kannst.

Oder wenn du das besser kannst, setze t erstmal fest z.B. auf 2

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Kommentar von tillmann700
14.02.2016, 14:58

Daran habe ich auch schon gedacht, aber auch wenn ich t = 2/9 einsetze, wie kann ich von dieser Funktion dann ableiten.

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Also ich kann auf dem Bild leider nur einen teil der Aufgabenstellung sehen. Einmal sollst du K von 2/9 zeichnen, da setzt du dann wsl 2/9 für t ein und hast nur noch eine variable.

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Kommentar von tillmann700
14.02.2016, 14:56

Ich weiss, du musst nochmal auf das schon angezeigte Bild klicken.

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In welchem Zusammenhang stößt du auf solche Aufgabe? Das muss doch im Unterricht vorbereitet sein?!

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