Wie löst man diese simultane Gleichung?

Die Nummer 56 bekomme ich einfach nicht hin, bei meinem Lösungsansatz kommt nicht dass richtige Ergebnis heraus. Könnte mir bitte jemand die richtige Herangehensweise erklären?

Answer 1

[mihisu]

Im konkreten Fall würde ich zunächst einmal empfehlen, die Gleichungen etwas zu vereinfachen...

Du solltest erkennen können, dass 8 = 2³, 2 = 2¹, 1 = 2⁰, 4 = 2², 32 = 2⁵ alles 2er-Potenzen sind. Dann kannst du mit Rechenregeln für Potenzen weiterarbeiten, um das jeweils zu einer einzelnen 2er-Potenz pro Gleichungsseite zu vereinfachen. Dann kann man die Exponenten vergleichen.

$\begin{array}{rclcrcl}8^x\cdot 2^y & = & 1 & \Leftrightarrow & \left(2^3\right)^x\cdot 2^y=2^0 \\ & & & \Leftrightarrow & 2^{3x}\cdot 2^y=2^0 \\ & & & \Leftrightarrow & 2^{3x+y}=2^0 \\ & & & \Leftrightarrow & 3x+y=0\end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl}\frac{4^x}{2^y} & = & 32 & \Leftrightarrow & \frac{\left(2^2\right)^x}{2^y} & = & 2^5 \\ & & & \Leftrightarrow & \frac{2^{2x}}{2^y} & = & 2^5 \\ & & & \Leftrightarrow & 2^{2x-y} & = & 2^5 \\ & & & \Leftrightarrow & 2x-y & = & 5\end{array}$

Nun hast du mit 3x + y = 0 und 2x - y = 5 ein lineares Gleichungsystem, welches dir hoffentlich keine Probleme mehr bereiten sollte.

Beispielsweise kann man 3x + y = 0 zunächst zu y = -3x auflösen und in 2x - y = 5 einsetzen, um 2x - (-3x) = 5 bzw. 5x = 5 zu erhalten, was x = 1 liefert. Wenn man x = 1 dann in y = -3x einsetzt, erhält man y = -3.

Ergebnis:

$x=1,\ y=-3$

Answer 2

[Halbrecht]

bei der ersten 2^y durch 4^x/32 ersetzen

8^x * 4^x / 32 = 1

(32)^x / 32 = 1

32^x = 32

x*log(32) = log(32)

x = 1 

.

nun mit x = 1 zu y

8^1*2^y = 1

2^y =1/8 

y * log(2) = log(1) - log(8)

y = -log(8)/log(2) = -3 = y

.

Test

(8^1)*2^-3 =

8/8 = 1 korrekt

.

4^1/2^-3 = 4 * 8 = 32 korrekt