Wie löst man das Monty Hall Problem?
Nur an die, die es kennen oder es schon gelöst haben.
2 Antworten
Naja, um jetzt mal von der Wikipedialösung wegzugehen, und den Geist anzustrengen.
Stell dir das ganze Problem erstmal für eine viel größere Anzahl an Türen vor. Sagen wir 1000, dann wird es intuitiver. Du hast zu Beginn also eine 1/1000 Chance um die richtige Tür zu treffen. Es ist also unfassbar wahrscheinlich, dass deine Tür nicht die Richtige ist. Dann ergibt es doch Sinn, dass die höhere Chance, nicht die Ziege zu treffen, bei einem Wechsel besteht. Es ist doch viel wahrscheinlicher (999/1000), dass die Tür unter denen ist, die der Moderator öffnen kann. Die richtige wird er wohl übergangen haben. Im Fall von 3 Türen ist das Ganze dann genauso, nur wesentlich unintuitiver. Ein schönes Beispiel für ein Problem, was im Unendlichen viel einfacher zu verstehen ist, als im Kleinen.
Das Monty Hall Problem, was ja ein ungelöstes Paradoxon in der Mathematik ist, löst man durch nachdenken.
Denn:
Das Ziegenproblem ist ein gutes Beispiel von Meinungsmanipulation. Es werden Taschenspielertricks angewendet. Mit großem Primborium wird eine Geschichte erzählt, um von der Realität abzulenken.
Es ist vollkommen egal, wieviele geöffnete Ziegentüren nicht zur Auswahl stehen.
Wenn nur noch 2 Türen übrig sind, hast du eine 50/50 Chance, daß die von dir ursprünglich gewählte (oder jetzt gewechselte) Tür den Gewinn enthält.
Wirf eine Münze. Die weiß ja nicht, ob ursprünglich 10 oder 100 Türen zur Auswahl standen.
Es ist bei diesem Türenproblem immer dasselbe.
Es gibt eine Tür, die den Gewinn enthält, und eine Tür mit einer Niete. =50% Gewinnchance
Und es gibt eine Tür, die du gewählt hast, und eine, die du nicht gewählt hast. 50% Chance, daß deine Tür den Gewinn enthält. und 50% Risiko, daß du die falsche Tür gewählt hast.
Es gibt auch Varianten mit 99 Türen, um es dir besser zu verdeutlichen. Doch auch das mit den 99 Türen ist eine Ablenkung.
Warum Ablenkung?
Es wird niemals die von dir gewählte Tür geöffnet.
Es wird niemals die Tür mit dem Gewinn geöffnet.
Es verbleiben 2 Türen, die hälfte davon mit einem Gewinn, die andere Hälfte mit einer Niete.
Da du nicht weißt, welche Hälfte du hast, kannst du nach einem Wechsel nur die Gewinnwahrscheinlichkeit der anderen Möglichkeit haben.
Oder du spielst das Ganze mal durch. Zur besseren Verdeutlichung die Variante mit den 99 Türen, wo du ja nur zu 1/100 zu Anfang die Richtige Tür gewählt hast, und ein Wechsel dir zu 99% den Gewinn beschert. Aber spiele es mit einem Freund, der aber die andere geschlossene Tür wählt. (Ihr beide "spielt" gegen den Lehrer.)
Deine Gewinnchancen steigen auf 99%, wenn du wechselst, da die Wahrscheinlichkeit, die Richtige Tür beim ersten mal richtig gewählt zu haben, liegt bei 1%. (oder 1/3 bei 3 Türen)
Die Gewinnchance deines Freundes steigt aber ebenfalls auf 99%, da er auch nur zu 1% anfangs die richtige Tür gewählt hat.
Demzufolge gewinnt ihr beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 99%.
Nach dem 9. Durchgang habt ihr jeder 8,91 Autos gewonnen. Jeder von euch beiden. Bei 9 Autos, die es insgesamt zu gewinnen gab.
Spätestens jetzt werdet ihr beim Nachrechnen feststellen, daß jeder von euch 50% Gewinnchance gehabt hat. Und die angeblich theoretische Gewinnchance von 2/3 beim 3 Türenproblem von niemanden in der Realität erreicht wird.
Wiki
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem
"Einige der hier sogenannten Paradoxa sind lediglich der Intuition, herrschenden Meinung oder Erwartung widersprechende, aber korrekte Beantwortungen eines Problems, oder sie beruhen auf Fehlschlüssen."
(Man beachte den vorstehenden Halbsatz. )
Beim "Ziegenproblem" soll die Motivation oder der Charakter des Moderators entscheidend sein, für die 2/3 Lösung.
Ich gehe davon aus, daß die Motivation (faul oder ausgeglichen) absolut NULL wichtig ist, sondern einzig die Entscheidung (die 1. Wahl der Tür) des Kandidaten zur angeblichen Abweichung von den 50/50 zu den behaupteten 2/3 führt.
2/3 zu 1/3 kann ja durchaus richtig sein, aber wenn die falsche Begründung genannt wird, ist vielleicht "zufällig richtig geRATEN", das Problem aber nicht "gelöst".
Ich bin davon ausgegangen in meiner Erklärung, dass der Moderator immer eine Tür öffnet und dass diese Tür eine mit einer Ziege dahinter ist. Alles andere sind nämlich irgendwelche Modifikationen und in der Frage war nach dem normalen Monty Hall Problem gefragt. Du hast natürlich Recht damit, dass es egal ist warum der Moderator irgendwas macht, sondern es nur wichtig ist, was er macht. Ich hab aber auch nie etwas anderes behauptet.
Zu deiner Kritik, dass man sich nicht sicher sein kann, dass man mit der Strategie "Tür wechseln" gewinnt: Die Frage im Original war "Sollte man wechseln?" und nicht "Wo ist das Auto". Es geht darum, zu identifizieren, welche Tür die höhere GewinnCHANCE hat. Und darauf gibt es eine erwiesenermaßen korrekte Antwort.
Welche Tür hat denn die höhere Gewinnchance, wenn Tür 3 geöffnet ist?
Wenn du dich für Tür 1 entschieden hast und der Spielleiter Tür 3 öffnet und dahinter ist die Ziege, dann ist der Gewinn mit einer höheren Wahrscheinlichkeit hinter Tür 2.
Wenn du dich für Tür 2 entschieden hast und der Spielleiter Tür 3 öffnet und dahinter ist die Ziege, dann ist der Gewinn mit einer höheren Wahrscheinlichkeit hinter Tür 1.
Und ist in Wikipedia irgendwo erwähnt, daß es ja, wie du schreibst, auf die Erste Wahl des Kandidaten ankommt?
Dort steht ausführlich, daß der Moderator wissen muss, wo das Auto ist. Wenn er nur zufällig die Tür 3 mit der Ziege wählt, wäre die Wahrscheinlichkeit bei 50/50.
Und wenn der Kandidat ausversehen die andere Tür wählt, obwohl er ursprünglich die andere Tür ausgesucht hatte? soll er dann wechseln, oder bleiben?
Oder du spielst mit deinem Freund, und er wählt Tür 1, du wählst Tür 2, der spielleiter öffnet Tür 3
Solltest DU wechseln?
Und was sollte dein Freund tun? Bleiben oder wechseln?
- Ich habe nicht gesagt dass die 1. Wahl witzig ist, sondern, dass es witzig ist zu wechseln.
- Ja der Moderator weiß wo das Auto ist
- Zu der Sache mit dem Freund und dir (ich musste eine Weile nachdenken): Das Problem ist, dass der Moderator bei zwei Spielern nicht immer die dritte Tür öffnen kann. Wenn beide zufällig die Ziege gewählt haben, müsste der Moderator die Tür mit dem Auto öffnen, was ja nicht geht. (Es geht hierbei ncht darum, ob beide Spieler tatsächlich Ziegen Türen wählen, sondern es geht darum, dass es hätte passieren können.) Die Spielregeln ergeben in einer Variante mit 2 Spielern also keinen Sinn mehr und daher gilt die 2/3 Wahrscheinlichkeit auch nicht mehr. Es ist nur noch 50:50 und es ist egal, ob du wechselst oder nicht.
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?
(aus Wikipedia)
Bei dieser Aufgabenstellung kann der Freund durchaus die Tür 2 wählen.
"Das Problem ist, dass der Moderator bei zwei Spielern nicht immer die dritte Tür öffnen kann."
Warum nicht? Er wählt Tür 3. Immer.
Wir müssen nicht mit einem Computer 10.000 Simulationen durchlaufen lassen.
Wir analysieren immernoch die in der Aufgabenstellung genannte Aufstellung.
Um die geht es. Nicht darum, ob du Tür 3 gewählt hast, und der Moderator daraufhin Tür 2 öffnet. (Aha. Das Auto war zu 100% hinter Tür 1 !)
Wir sind in der Lage, ohne irgendwelche Autos oder Ziegen hinter den Türen zu vertauschen, die Gewinnwahrscheinlichkeiten für jede einzelne Tür zu berechnen.
Du hast Tür 1, dein Freund Tür 2. Solltet ihr beide wechseln?
Und wenn wir diese EINE Stellung gründlich analysiert haben, können wir die nächste Stellung drannehmen.
Es geht nicht darum, ob es in einem konkreten Einzelfall klappen könnte, sondern, ob, das ganze Spiel so funktioniert mit 2 Spielern und das tut es nicht. Wenn sich du und dein Freund beide davor entscheiden und ihr beide Türen mit Ziegen wählt, dann kann der Moderator keine Tür öffnen.
Zu deinem Vorschlag, alle Stellungen zu berechnen: Entweder hast du die Ziege oder dein Freund, da ihr genau das selbe gemacht habt, müsst ihr natürlich beide die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben und da es ein Auto gibt, liegt die bei 0,5. Aber wie gesagt, das liegt daran, dass die Spielregeln jetzt andere sind.
Dann nehmen wir eben 3 Leute, die jeder eine Tür auswählen, der Moderator wählt seine Ziegentür und öffnet sie, und alle 3 Kandidaten dürfen zu einer anderen Tür hinwechseln. ...zu einer geschlossenen Tür hinwechseln...
Welche Tür hat die höhere Wahrscheinlichkeit? Und wohin sollte der 3. Kandidat wechseln? Hinter einer Tür soll der Gewinn ja häufiger sein.
Oder ist es wieder nur 50/50 für Kandidat 3?
Es geht halt nicht mehr auf, weil es ja nur ein Auto gibt aber theoretisch zwei Personen vor der Tür mit dem Auto stehen könnten. Wir nehmen also mal an, dass alle die vor der richtigen Tür am Ende stehen, was gewinnen.
Jeder Kandidat hat zu Beginn eine 1/3 Chance, dass er die Ziegentür erwischt, die der Moderator öffnet. (In dieser Fall würde er wechseln und hätte dann eine 1/2 Chance vor der korrekten Tür zu stehen.)
Der Kandidat kann auch mit einer 1/3 Chance vor der Ziegentür stehen, die der Moderator nicht öffnet. Nach dem Wechsel hätte er das Auto sicher.
Dann gibt es noch eine 1/3 Chance, dass er die Tür wählt, hinter der das Auto steht. Nach dem Wechsel hätte er die Ziege sicher.
Jeder Kandidat hat daher eine Chance von 1/3*1/2+1/3*1+1/3*0=1/6+1/3+0=0,5. Jeder Kandidat hätte also eine Chance von 50 % zu gewinnen.
Nein, das Monty Hall Problem ist nicht ungelöst. Wenn du am Anfang eine Tür wo eine Auto dahinter ist, auswählst, dann wird der Moderator eine der beiden Ziegen zeigen und dann wirst du nach dem Wechsel die zweite Ziege haben. Wenn du am Anfang eine Tür mit einer Ziege wählst, dann wird der Moderator die zweite Tür mit einer Ziege öffnen und somit wirst du nach dem Wechsel ganz sicher das Auto haben. Wenn man nach dieser Taktik spielt, dann gewinnt man, wenn man am Anfang eine Ziege ausgewählt hat und verliert, wenn man das Auto ausgewählt hat. Und die Wahrscheinlichkeit, am Anfang eine Ziege auszuwählen beträgt 2/3. Wenn du es immer noch nicht glaubst, dann probiers halt aus. Schnapp dir jemanden als Moderator mit dem du das Spiel 100 Runden spielst und du wirst, wenn du die Strategie befolgst, in grob 67 Runden gewinnen.