Wie Krass ist der unterschied zwischen Unimathe und Schulmathe?

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In der Mathematik geht es um weit mehr als das Rechnen im Zahlenraum der natürlichen und reelen Zahlen. Dies wird in der Schule als "Mathematik" bezeichnet, ist aber nur ein verschwindend kleiner Ausschnitt aus dem Spektum der Mathematik. Hier gibt es z.B. auch Mengenbegriffe wie Gruppen, Körper, etc, die sich über bestimmte Axiome definieren. Aus diesen Axiomen kann man gewisse Eigenschaften beweisen, und aus diesen weitere, usw...

Beispiel:

Eine endliche Gruppe ist eine Menge von Gruppenelementen ,

G = {g0, g1, g2, g3, ...gn}

über welche eine Rechenoperation "+" definiert ist. Für zwei Elemente g1, g2 aus G gilt:

  • g1+g2 = g3 ist wieder ein Element aus G. Das heißt, zwei Gruppenelemente können addiert werden und das Ergebnis ist wiederum ein Element der Gruppe
  • Es gibt ein Null-Element in G: Für dieses gilt: g+0 = g und 0+g = g
  • Es gilt Assoziativgesetz: g1+(g2+g3) = (g1+g2)+g3 := g1+g2+g3

Nun kann man z.B. aus diesen Eigenschaften beweisen, dass es nur zwei Gruppen mit 4 Elementen, G={g0, g1, g2, g3} gibt: Die eine Gruppe ist jene mit den Additionsregeln

g0+g0 = g0

g0+g1 = g1

g0+g2 = g2

g0+g3 = g3

g1+g0 = g1

g1+g1 = g2

g1+g2 = g3

g1+g3 = g0

g2+g0 = g2

g2+g1 = g3

g2+g2 = g0

g2+g3 = g1

g3+g0 = g3

g3+g1 = g0

g3+g2 = g1

g3+g3 = g2

Man kann nun die Gruppenelemente nach Lust und Laune umbennenen, ich hätte schreiben können

G={"bee", "buu", "ihh", "ohh"}

Dann wäre z.B.

ohh+ihh = buu

und das Nullelement bee.

Nun wirst du vielleicht sagen das wäre Unsinn, aber wenn du die Gruppe schreibst als

G={0, 1, 2, 3}

Dann ist

0+0=0, 1+1=2, 2+1=3, 2+2=0, 3+3=1, 3+1=0, 2+1=3, usw...

Du kennst diese Gruppe vielleicht: es ist die Gruppe der Natürlichen Zahlen modulo 4. Die Operation der Addition "+" ist definiert als der Rest, der bei der Division durch 4 bleibt. GANZ WICHTIG IST ABER: Die Benennung der Elemente ist VÖLLIG willkürlich, man kann genauso ersetzen: 0-->3, 1-->2, 2-->1, 3-->0

Dann ist halt

1+2=0

Und die Null ist das Element 3:

3+0=0

3+1=1

3+2=2

3+3=3

Die andere mögliche Gruppe ist:

0+0 = 0

0+1 = 1

0+2 = 2

0+3 = 3

1+0 = 1

1+1 = 0

1+2 = 3

1+3 = 2

2+0 = 2

2+1 = 3

2+2 = 0

2+3 = 1

3+0 = 3

3+1 = 2

3+2 = 1

3+3 = 0

Das ist die "Klein'sche Vierergruppe".

Du kannst dir als kleine Übung nun selber überlegen (es ist nicht allzu schwer) warum es neben diesen beiden Gruppen keine weiteren Gruppen mit 4 Elementen geben kann. Wenn dir diese kleine Aufgabe "einfach Spaß" machen sollte, bist du für ein Mathematikstudium wahrscheinlich geeignet. Es ist dabei egal ob du das in einer Stunde oder in 20 Tagen oder evtl auch gar nicht beweisen kannst - es geht um das Interesse. Sollte es aber so sein, dass das absolut langweilig für dich ist, dann wird es auch nichts mit einem Mathematikstudium, auch wenn du noch so gute Noten in der Schule hattest: hier ging es bloß um Rechnen und nicht wirklich um Mathematik. In etwas abgeschwächter Form gilt das auch für Physik und die Ingenieurswissenschaften, wie. z.B. Nachrichtentechnik.

Es gibt auch bestimmte unendliche Gruppen, die in der Physik eine besondere Rolle spielen; z.B. basieren die Theorien der starken, schwachen und elektronmagnetischen Wechselwirkung auf den Gruppen SU(3), SU(2) udn U(1). Nachlesen kann man das hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_unit%C3%A4re_Gruppe

SO(3) ist wiederum die Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum:

Ein Punkt X wird durch eine Drehung D in den Punkt Y übergeführt. Formal schreibt man das als

Y = D1*X mit der Drehmatrix D1

Wir der Punkt Y anschließend in den Punkt Z gedreht, so wird das mit einer weiteren Drehmatrix vermittelt:

Z = D2*Y mit der Drehmatrix D2:

Z = D2*(D1*X) = (D2*D1)*X

Du siehst also, dass das Matztrixprodukt D2*D1 wieder eine Drehmatrix ist, nämlich jene, die X nach Z dreht. Das Nullelement ist die identische Abbildung(keine Drehung). Die Gruppenoperation "+" ist in diesem Fall die Matrixmultiplikation *. Da für drei Matrizen gilt

A*(B*C) = (A*B)*C

haben wir somit alle Vorraussetzungen für eine Gruppe. Die Drehgruppe SO(3) spielt u.A. eine ganz zentrale Rolle in der Kristallographie. Ohne die tieferen Theoreme der Gruppentheorie wäre Kristallographie undenkbar:

Du sieht also, dass es sich hier keineswegs um irgendwelche unvorstellbaren Gedankenexperimente handelt, sondern um ganz strenge mathematische Definitionen und die aus Beweisketten daraus folgenden Konsequenzen. Mathematik geht GANZ GANZ GANZ GANZ weit über die Schulathematik des Rechnens mit rellen Zahlen hinaus und was man hier mitbekommt, kratzt noch nicht mal am Eis, wenn man es ein wenig boshaft formuliert ;-)

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ich meinte natürlich "kratzt man nicht mal an der Oberfläche", nicht am Eis ... ;-)

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Das hängt auch davon ab, welchen Studiengang du besuchst. Im reinen Mathematikstudium ist das Niveau relativ hoch und der Stoff ziemlich trocken mit vielen Beweisen. Als BWLer hat man ein ähnliches Lerntempo wie in der Oberstufe und der Stoff ist nicht ganz so anspruchsvoll. Wenn man mit Mathematik grundsätzlich etwas anfangen kann, kann man es in der Regel auch auf der Hochschule schaffen (zumindest bei Nebenfächern), vorausgesetzt man arbeitet mit.

Ich bin durch meine schon ein wenig anspruchsvolleren Matheveranstaltungen mit naturwissenschaftlichem Schwerpunkt immer gut durchgekommen.

Woher ich das weiß:
eigene Erfahrung

Der Unterschied ist immens. Ich sage es immer so: In der Schule lernt man Rechnen, in der Uni lernt man Mathematik (zumindest im Mathe- oder Physikstudium)

Guck die zum Beispiel mal die Beweisführung bei der Konvergenz von Reihen und Folgen an (z.B. Cauchy-Kriterium). So etwas macht man im ersten Semster unter anderem.

90% der Mathe-Vorlesungen sind Beweisführungen.

Woher ich das weiß:
Studium / Ausbildung

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