Wie kommt man auf 25 mal?
Die hydraulische Hebeanlage eines Krankenbettes hat einen Pumpkolben mit einem Arbeitsweg von 20cm und einer Pumpfläche von 10cm2. Sie verzehnfacht die Pumpkraft.
Wie oft muss der Pumpkolben vollständig gedrückt werden, um den Bettrost (Größe: 200cm⋅100cm) um 50cm anzuheben?
4 Antworten
10-fache Kraft heisst durch das Hebelgesetz, dass der Weg sich dann um 10-faches verringert.
20/10 = 2cm
50/2 = 25 mal pumpen
Der Druck auf der einen Seite ist gleich dem Druck auf der anderen Seite. Und...
(Druck) = (Kraft)/(Fläche)
p = F/A
Demnach erhält man also:
p₁ = p₂
F₁/A₁ = F₂/A₂
A₂ = F₂/F₁ ⋅ A₁
Die Pumpfläche beträgt laut Angabe A₁ = 10 cm².
Die Kraft wird laut Angabe verzehnfacht, so dass also F₂/F₁ = 10 ist.
A₂ = F₂/F₁ ⋅ A₁ = 10 ⋅ 10 cm² = 100 cm²
Wegen der Pumpfläche von 10 cm² und einem Arbeitsweg von 20 cm, liefert einmaliges Pumpen das folgende Flüssigkeitsvolumen:
V₀ = 10 cm² ⋅ 20 cm = 200 cm³
Bei n-maligem Pumpen erhält man also das folgende Flüssigkeitsvolumen:
V₁ = n ⋅ V₀ = n ⋅ 200 cm³
Die Fläche auf der anderen Seite bei der Hebefläche beträgt 100 cm². Und dort soll ein Weg von 50 cm überwunden werden. Das dafür benötigte Flüssigkeitsvolumen beträgt:
V₂ = 100 cm² ⋅ 50 cm = 5000 cm³
Dieses benötigte Flüssigkeitsvolumen muss durch das Pumpen zugeführt werden. Also...
V₁ = V₂
n ⋅ 200 cm³ = 5000 cm³
n = (5000 cm³)/(200 cm³) = 25
Demnach muss der Pumpkolben 25-mal vollständig gedrückt werden.
Alternativ mit Energieerhaltung...
Man leistet bei einmaligem Pumpen eine Arbeit von...
W₀ = F₁ ⋅ 20 cm
Bei n-maligem Pumpen...
W₁ = n ⋅ F₁ ⋅ 20 cm
Auf der anderen Seite soll bei 10-facher Kraft [F₂ = 10 ⋅ F₁] eine Höhendifferenz von 50 cm überwunden werden, was die folgende Hubarbeit benötigt...
W₂ = F₂ ⋅ 50 cm
W₂ = 10 ⋅ F₁ ⋅ 50 cm
Im Idealfall (ohne Verluste durch Reibung) muss die Arbeit, die man durch das Pumpen reinsteckt gleich der Hubarbeit auf der anderen Seite sein.
W₁ = W₂
n ⋅ F₁ ⋅ 20 cm = 10 ⋅ F₁ ⋅ 50 cm
n = (10 ⋅ 50 cm)/(20 cm)
n = 25
Es muß ein Volumen am "Bett-Kolben" (oder was auch immer) von 10*10*50 =5000cm³ gefüllt werden.
Jeder Pumpkolbenhub leistet 20*10=200cm³.
Somit kommst du auf die 25 Pumpbewegungen.
Zehnfache Kraft bedeutet ein Zehntel Weg.