Wie kann ich diese Differenzialgleichung lösen?
Moin ich muss für die Uni diese Differenzialgleichung nach v(t) lösen, doch hab keine Ahnung wie ich das tun soll: v'(t)=-a*v(t)-b*(v(t))^2 a,b≥0
1 Antwort
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, rechnen, Gleichungen
Lösungsvorschlag:
v'(t) = -a * v(t) – b * (v(t))²
Ich setze für v(t) = v, ist weniger Schreibarbeit:
dv / dt = -a * v – b * v²
(1 / (-a * v – b * v²) dv = dt
∫(1 / (-a * v – b * v²) dv = ∫dt
(1 / a) * (log(a + b * v) – log(v)) + C = t
log((a + b * v) / v) = a * t – a * C
(a + b * v) / v = e^(a * (t – C))
a + b * v = v * e^(a * (t – C))
v * (b - e^(a * (t – C))) = -a
v(t) = -a / ((b - e^(a * t) / e ^(a * C))
Erweitert man den Bruch um e^(a * C), so erhält man das Ergebnis, welches auch wolframalpha anzeigt:
v(t) = -a * e ^(a * C) / ((b * e ^(a * C) - e^(a * t))
