Wie ist die Funktionsgleichung der Parabel, welche durch die Punkte P1, P2 und P3 gehen?

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4 Antworten

MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Mit den 3 punkten hast du 3 Gleichungen und die Parabel

y=f(x)= a2 *x^2+a1*x+ao liefert die 3 Unbekannten a2,a1 und ao

die 3 Gleichungen lauten somit 

   1.    y1= a2*x1^2+a1*x1+ao

    2.   y2= a2*x2^2+a1*x2+ao

     3.  y3= a2*x3^2+a1*x3+ao werte eingesetzt

1. - 2= a2* 1^2 + a1*1 + 1*ao

 2. 10=a2* (-5)^2 - a1*5 + 1*ao

  3. 26= a2*3^2 +a1*3+1*ao 

Wir haben nun ein "lineares Gleichungssytem" mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannte a2,a1 und ao

umgeschrieben ergibt sich

1.    1 *a2 + 1*a1 + 1*ao= - 2

2.     25  *a2 - 5 *a1 +1*ao= 10

3.     9 *a2+3 *a1 +1 *ao= 26

Lösung mit meinen Graphikrechner (Casio) a2=2 und a1=6 und ao= -10

eingesetzt ergibt y=f(x)= 2*x^2+6 *x - 10

Probe : Mit den x-Werten der 3 Punkte x1=1 und x2= - 5 und x3= 3

HINWEIS : In "Handarbeit " musst du das "lineare Gleichungssystem" mit den 3 Lösungsmethoden lösen,die im Mathe-Formelbuch stehen.

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Mit Hilfe von drei Gleichungen mit 3 Unbekannten, in die du die Punkte einsetzt. Die erste Koordinate ist immer x, die zweite y.

Die allgemeine Parabelgleichung ist:

ax² + bx + c = y

Und dann Additionsverfahren, um die Unbekannten a, b und c herauszubekommen.

http://dieter-online.de.tl/Additionsverfahren-d--3-Unbekannte--k1-LGS-k2-.htm

Am besten, du fängst erstmal an.
Wenn noch Fragen sind, schreib einen Kommentar.

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Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet:

y = ax² + bx + c

Hast du einen Punkt P(x | y) gegeben, so kannst du den x- und den y-Wert des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und du erhältst eine Gleichung mit drei Variablen.

Wendest du dieses Verfahren auf alle drei Punkte an, so entsteht ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen.

Dieses muss nun gelöst werden, um die Werte für a, b und c zu erhalten.

Für deine Funktion:

A(1 | -2), B(-5 | 10), C(3 | 26)

A(1 | -2) → -2 = a*1² + b*1 + c

B(-5 | 10) → 10 = a*(-5)² + b*(-5) + c

C(3 | 26) → 26 = a*3² + b*3 + c

Also sieht dein lineares Gleichungssystem folgendermaßen aus:

I.   -2 = a + b + c

II.  10 = 25a - 5b + c

III. 26 = 9a + 3b + c

Dieses Gleichungssystem ist nun mit einem geeigneten Verfahren zu lösen.

IL = {(2 | 6 | -10)}

f(x) = 2x² + 6x - 10

Damit hast du die Funktionsgleichung der Parabel in der allgemeinen Form bestimmt. ;)

Falls du Hilfe bei der Lösung des linearen Gleichungssystems benötigst, so melde dich doch einfach. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von Willibergi
23.07.2016, 10:07

Im ersten Satz muss es natürlich "quadratische Funktion" und nicht "lineare Funktion" heißen. ^^

LG Willibergi

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allgemeine Gleichung einer Parabel: f(x)=ax²+bx+c

P(1;-2) f(-1)=a-b+c=-2

P(-5;10) f(-5)=25a-5b+c=10

P(3;26) f(3)=9a+3b+c=26

Du erhälst ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten, bestimme a,b und c und setze sie in die allgemeine Gleichung ein.

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