Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?...
Hallo :)
Ich wollte heute Mathe üben, da wir nächste Woche eine Arbeit schreiben und dabei ist mir aufgefallen, das ich mit einer Aufgabe nicht klarkomme :(
Es geht darum, dass ein Mann 8 Fragen mit jeweils 3 Antwortmöglichkeiten hat, wovon nur eine richtig ist. Zufällig kreuzt er dann bei jeder Frage eine Antwort an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 4 richtige Antworten zu haben? Wie groß ist die Wk. höchstens drei richtige Antworten zu haben?
Ich weiß, dass ich erstmal alle Möglichkeiten brauche aber weiter komme ich da auch nicht :(
Es wäre sooo nett wenn mir jemand helfen könnte!
(Falls das wichtig ist, die beste Antwort bekommt auch den Stern :D)
5 Antworten
Teil 1:
Die Frage mit den 4 Richtigen ist das Gleiche, wie Würfeln mit 8 Würfeln, die 3 Zahlen (1 bis 3) ergeben können.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:
Alle Kombinationen in denen die zuvor gewählte Würfelkombination mit Permutationen enthalten ist
geteilt durch
Alle Kombinationen.
Nehmen wir an, bei jeder Frage ist die richtige Antwort die 1.
Dann sind alle Kombinationen die, bei denen 4 Würfel die 1 zeigen und 4 Würfel keine 1. Das gibt es 16 Mal, 4 Würfel zeigen 1, die anderen dürfen nur 2 oder 3 zeigen, also 2^4=16. Aber diese 16 kann man permutieren, also die richtige Lösung wie bei einem Bernoulli-Experiment verteilen. Ergebnis ist 8 über 4, also 8!/(4!*4!).
Das heißt, die Möglichkeiten sind: (8 über 4) * 2^4= 1120
Alle Kombinationen sind 3^8=6561.
Die Wahrscheinlichkeit ist 1120/6561=17,1%
Man hätte auch argumentieren können, dass man einzeln wirft und daher (1/3)^4(2/3)^4(8 über 4) rechnet, kommt dasselbe raus.
Teil 2:
Höchstens 3 richtige ist schwieriger. Der kurze Rechenweg wäre über eine Verteilungsfunktion, aber wir sind hier noch im Zählmodus. Das heißt, es müssen die Wahrscheinlichkeiten von 1 Antwort richtig, zwei Antworten richtig und 3 Antworten richtig zusammengerechnet werden:
1 Antwort richtig: 2^7(8 über 1) Möglichkeiten=1024 2 Antworten richtig: 2^6(8 über 2) Möglichkeiten=1792 3 Antworten richtig: 2^5*(8 über 3) Möglichkeiten=1792
Summe ist 4608
Alle Möglichkeiten sind wieder 6561. D.h. die Wahrscheinlichkeit ist
4608/6561=70,2%.
Du kannst das übrigens kontrollieren, indem die alle Möglichkeiten bildest im Sinne von Summe über 0 richtig bis 8 richtig mit den obigen Formeln, dann kommt wieder 6561 raus.
Und ich habe vergessen, dass ja auch keine Antwort richtig sein darf in Teil 2, damit fehlen 256 Möglichkeiten (8 über 0) 2^8 und die Wahrscheinlichkeit ist korrekterweise:
74,1%
(Danke an psychironiker )
Für die relative Häufigkeit musst du erst die absolute Häufigkeit errechnen, also 8 Fragen mal 3 Antworten gleich 24. Die relative Häufigkeit soll 4 sein, also ist die Wahrscheinlichkeit 4/24 also 1/6 also 1 zu 6. und für 3 richtige Antworten 3/24 also 1 zu 8
da soll doch einmal die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, höchstens drei Antworten richtig zu haben. Und das geht ja wohl auf mehrere Möglichkeiten...deshalb weiß ich nicht ob das so korrekt ist...ich bin mir aber nicht sicher- ich sage jetzt nicht dass es falsch ist- ich vermute nur halt etwas anderes...
Das geht wirklich am einfachsten mit Binomialverteilung (siehe EnteWurzel). Bloß wie kommst du da drauf?
Du hast n Ereignisse (hier: n=8) , die zu einem Erfolg führen können (hier: Erfolg = "richtig angekreuzt").
Der Erfolg bei einem Ereignis hängt nicht von dem ab, was bei den Ereignissen vorher passierte.
- Wenn das doch so wäre (wie z.B. beim Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen), wäre die Wahrscheinlichkeit nicht binomialverteilt (sondern hypergeometrisch, siehe EnteWurzel).
Jedes Ereignis hat also die gleiche Erfolgs-Wahrscheinlichkeit p (hier. p = 1/3).
Du willst wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau k der n Ereignisse (hier: k = 4 oder k ≤ 3) zum Erfolg führen.
Die Reihenfolge der Erfolge ist dir egal (ist hier gegeben, es zählt nur die Anzahl insgesamt).
Wenn die Fragestellung so ist, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
P = (n über k) * p^k * q^(n-k), wobei q = 1 -p,
schöner geschrieben in >http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung, Punkt "Definition der Binomialverteilung".
Für k = 4 brauchst du nur einzusetzen; für k ≤ 3 ist k=1, k=2 und k=3 zu bestimmen und zusammenzurechnen.
Ergebnisse, zur Kontrolle:
Für 4 richtige Antworten ist die Wahrscheinlichkeit ≈ 0,171 (also 17,1%),
für höchstens 3 ist sie ≈ 0,741 (also 74,1%).
Bei der Auflistung der zusammenzurechnenden Wahrscheinlichkeiten für den Fall k ≤ 3 fehlt die Wahrscheinlichkeit für k = 0 (danke an kraemersg).
Die Summe 74,1% stimmt trotzdem, denn sie ist mit einem Programm berechnet, das automatisch alle k ≤ 3 berücksichtigt, also auch k = 0.
Hi,
überlege dir zunächst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist eine einzelne Frage richtig zu beantworten. Die liegt bei 1/3.
Nun kannst du die hypergeometrische Verteilung nutzen.http://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung#Definition Unter Definition steht direkt die Formel die du brauchst.
Für die höchstens 3 rechnest du die Summe aus genau 1 + genau 2 + genau 3. Das machst du wie oben mit der 4.
Sry, da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Natürlich musst du die Binomialveeteilung nutzen (nicht die hypergeometrische).
Die findest du auch bei Wikipedia. Und sie ist sogar noch einfacher ;)
Naja, alle Möglichkeiten herausfinden, Einzelwahrscheinlichkeiten dieser Möglichkeiten berechnen und die addieren^^
das mach mal bei Zahlen, die jenseits von 100 liegen. Lach. Eine Gleichung wäre hier wohl die bessere Antwort gewesen.
Sorry, die Mal-Punkte sind zu kursiv geworden.