Wie forme ich die Normalform in die allgemeine Scheitelpunktform um (Quadratische Funktionen)?
Wie forme ich
f(x) = a·x2 + b·x + c
in
f(x) = a · (x - xs)2 + ys
um?
Am besten auch noch mit Erklärung der einzelnen Zwischenschritte, warum man das macht.
Wirklich in dieser allgemeinen Form? Das ist nämlich schwierig!
Oder an einem Beispiel?
Jap, gerne an einem Beispiel.
6 Antworten
Hallo diecooleperson1,
am besten klammerst Du erst einmal a aus und erhältst
(1) f(x) = a∙(x² + (b/a)∙x + c/a).
Anschließend musst Du (b/a)∙x als 2∙…∙x ausdrücken, um die 1. Binomische Formel anwenden zu können. Dann musst Du eine quadratische Ergänzung einfügen und gleich wieder abziehen:
(2) f(x) = a∙(x² + 2∙(b/2a)∙x + b²/4a² + c/a − b²/4a²)
und jetzt wenden wir sie an:
(3) f(x) = a∙((x − b/2a)² + c/a − b²/4a² )
Anschließend wendest Du das Distributivgesetz an:
(4) f(x) = a∙(x − b/2a)² + c − b²/4a .
Ursprünglich hatte ich oben geschrieben "durch a dividieren", aber das ist ja keine quadratische Gleichung, wo auf einer Seite 0 steht und das Teilen nichts ausmacht.
Damit ist xₛ = b/2a und yₛ = c − b²/4a .
Wie funktioniert der Koeffizientenvergleich?tunik123 hat als Alternative zur Quadratischen Ergänzung den Koeffizientenvergleich vorgeschlagen:
(5.1) ax² + bx + c = a(x − xₛ)² + yₛ
Links steht die Standardform der quadratischen Funktion, rechts die Scheitelpunktform derselben Funktion. Natürlich sind xₛ und yₛ nicht bekannt; sie sollen durch a, b und c ausgedrückt werden.
(5.2) ax² + bx + c = ax² − 2axxₛ + axₛ² + yₛ
Hier hat tunik123 einfach die 2. Binomische Formel angewandt. Du siehst, dass auch beiden Seiten der Summand ax² auftaucht. Den können wir weglassen:
(5.3) bx + c = −2axₛ∙x + axₛ² + yₛ
Koeffizientenvergleich heißt jetzt, dass man die Ausdrücke gleichsetzt, die zur gleichen Potenz von x gehören.
Die Potenz x¹ = 1 hat links den Vorfaktor b und rechts 2axₛ; die müssen also gleich sein:
(6.1) b = −2axₛ ⇔ −b/2a = xₛ
Die Potenz x⁰ = 1 umfasst alle Ausdrücke, die den Faktor x nicht enthalten. Links ist das c, rechts axₛ² + yₛ². Auch sie müssen gleich sein:
(6.2) c = axₛ² + yₛ
Für xₛ setzen wir −b/2a ein und erhalten
(6.3) c = b²/4a + yₛ ⇔ c − b²/4a = yₛ.
Könntest du das Ganze noch weiter denken und weitere Formeln daran erklären?
Ich weiß nicht genau, was Du meinst. Geht es um Formeln, die da bereits stehen?
Eine Alternative zur Quadratischen Ergänzung ist Koeffizientenvergleich. Es kommt aber dasselbe dabei raus.
Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich
Und daraus
f(x) = y | denn du zeichnest es als y
y = ax² + bx + c | das ist die Funktion
Beispiel:
y = 5x² - 20x + 21
Für die Scheitelpunktform braucht man eine
Darstellung, die einer binomischen Formel
(siehe unten den Link)
entspricht. Deshalb baut man die Funktion um.
y = 5(x² - 4x ) + 21
Man betrachtet 4x als das Mittelglied einer
binomischen Form (2ab). Dann halbiert man die 4,
das ergibt 2, und das wird quadriert: 4
Wenn man diese 4 addiert, muss man sie sofort
wieder subtrahieren, damit die Gleichung erhalten
bleibt, sog. Quadratische Ergänzung.
Außerhalb der Klammer wird noch mit der 5
multipliziert, damit es wirklich stimmt.
y = 5(x² - 4x + 4 ) - 20 + 21
In der Klammer ist nun ein binomischer Term:
x² - 4x + 4 = (x - 2)² sowie
-20 + 21 = +1
Das Ganze ergibt zusammen:
y = 5(x - 2)² + 1
Das ist die Scheitelpunktgleichung
Daraus kann man jetzt die Koordinaten des
Scheitelpunkts S bestimmen.
Dabei wird bei x das Vorzeichen umgedreht,
bei der Zahl hinter der Klammer bleibt es gleich.
xs = +2
ys = +1
Daher S(2|1)
Link für das Binom:
https://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm
Man kann es aber auch allgemein machen, so ähnlich, wie man die Mitternachtsformel herleitet.
Mit quadratischer Ergänzung,
f(x)=ax^2 +bx+c
Jetzt so ergänzen, das man auf die erste oder zweite bioniomische Formel kommt, dazu erstmal ausklammern um den Faktor, falls vorhanden, vor x^2 wegzubekommen,
=a(x^2 +b/a *x+c/a)
Jetzt schauen was vor dem x steht und dann den Teil c/a ergänzen (bioniomische Formel, a^2+2ba+b^2)
a(x^2 +2*b/(2a) *x+c/a+(b/(2a)^2 -(b/(2a))^2)=
=a((x+b/(2a))^2 +c/a -(b/(2a))^2)
Jetzt kann man das a wieder hineinmultiplizieren...
Hier ist es, wie ich finde, recht gut und ausführlich an einem Beispiel erklärt: https://de.serlo.org/mathe/1631/quadratische-erg%C3%A4nzung
wuhuuuuu - super antwor