Wie bestimmt man die von einer Permutation erzeugte Untergruppe einer symmetrischen Gruppe?

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2 Antworten

Die Permutation schreibt man als g = (1 2 4 3). Berechne nun systematisch die Permutationen g^0=e, g^1=g, g^2=(g^1)g, g^3=(g^2)g, … bis du die Identitätspermutation erhältst. Das passiert bei n=4. Dann gilt <g> = {1,g,g^2,…,g^(n–1)}.

In jeder Gruppe G ist die durch g€G erzeugte Untergruppe immer dieser Form, solange g^n=e für ein n>0.

Diese Aufgabe ist saueinfach, und womöglich  deshalb findest du beim Googeln nichts. Das Thema ist „Zyklische Untergruppen“, „Ordnung von Elementen in Gruppen“.

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Kommentar von PeterZwegat88
12.11.2016, 21:15

Danke für deine Antwort, aber diese Schreibweisen sind mir komplett unbekannt und ich finde sowas auch nicht bei uns im Vorlesungsskript. Meinst du du könntest das noch ein wenig vereinfachen oder war das schon das einfachste was geht?

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Kommentar von eddiefox
12.11.2016, 22:37

Hallo kreisfoermig,

auf das Schreiben in den blauen Codefeldern, das eine klarere visuelle Darstellung möglich macht, bin ich übrigens durch deine Beiträge gekommen.

Gruss

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Sagen wir, deine Permutation hat den Namen a.

Du suchst die "kleinste" Untergruppe, die a enthält.

Da die Untergruppe a enthalten soll, muss {a} eine Teilmenge davon sein. Ist {a} schon eine Untergruppe? Dann wären wir fertig!

Dafür müssen wir prüfen: 

  1. Ist {a} abgeschlossen unter der Inversion?
  2. Ist {a} abgeschlossen unter der Gruppenverknüpfung?
  3. Ist {a} nicht leer?

Für den ersten Punkt müssen wir prüfen, ob a^(-1) bereits in {a} enthalten ist. Rechne das also nach. Falls a^(-1) in {a} liegt, ist erstmal alles in Ordnung. Ansonsten musst du es manuell hinzufügen (denn jede Gruppe, die a enthält, muss auch a^(-1) enthalten), sodass dein neuer Kandidat dann {a, a^(-1)} lauten würde. Dann müssen wir die obigen Punkte für den neuen Kandidaten überprüfen.

Die Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung (Komposition von Abbildungen in diesem Fall) prüft man analog. Ich würde für beliebige Gruppen vllt Punkt 1 und 2 abwechselnd prüfen, bis beide zugleich erfüllt sind. In deinem Fall geht es auch einfacher, aber ich weiß nicht, wie viel Theorie ich voraussetzen darf.

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Kommentar von PeterZwegat88
12.11.2016, 21:15

Danke für deine Antwort, aber diese Schreibweisen sind mir komplett unbekannt und ich finde sowas auch nicht bei uns im Vorlesungsskript. Meinst du du könntest das noch ein wenig vereinfachen oder war das schon das einfachste was geht?

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