Wie berechnet man Unter-Obersumme in Mathe?

Ich bin gerade am verzweifeln. Eigentlich habe ich gecheckt, wie man in der Integralrechnung Unter-Obersumme berechnet, aber bei manchen Aufgaben macht man die Werte × und manchmal nicht und manchmal quadriert man die Werte und manchmal nicht und das bringt mich gerade durcheinander. Kann das bitte eine/r für Dummies erklären.

Answer 1

[Ben29041231]

Stell dir vor, du willst die Fläche unter einer Kurve berechnen (Integralrechnung). Da wir nicht einfach direkt die Fläche messen können, teilen wir den Bereich in kleine Rechtecke auf:

• Untersumme → Nimmt immer den kleinsten Funktionswert in jedem Intervall → ergibt eine zu kleine Fläche

• Obersumme → Nimmt immer den größten Funktionswert in jedem Intervall → ergibt eine zu große Fläche

Je mehr Rechtecke man nimmt, desto genauer wird das Ganze.

Wie berechnet man das?

1. Intervall bestimmen: Du hast eine Funktion f(x) und ein Intervall [a, b] (z. B. [0,2]).

2. Aufteilen in n Streifen: Die Breite eines Streifens ist \Delta x = \frac{b-a}{n}.

3. Funktionswerte bestimmen:

• Bei der Untersumme nimmst du immer den kleinsten Funktionswert aus jedem Intervall.

• Bei der Obersumme nimmst du den größten Funktionswert.

4. Rechtecke berechnen:

• Jedes Rechteck hat die Breite \Delta x.

• Die Höhe ist der Funktionswert, den du gewählt hast.

• Fläche jedes Rechtecks = Höhe × Breite.

5. Alle Rechtecke aufsummieren – das ergibt die Unter- oder Obersumme.

Warum quadriert man manchmal?

Das passiert nur, wenn die Funktion selbst ein Quadrat hat, z. B. f(x) = x^2. Dann setzt du einfach x^2 in die Formel ein – du quadrierst nicht extra, das macht die Funktion automatisch.

Beispiel:

Nehmen wir f(x) = x^2 im Intervall [0,2] mit 2 Streifen.

• Schritt 1: Breite der Streifen: \Delta x = \frac{2-0}{2} = 1

• Schritt 2: Intervalle sind [0,1] und [1,2]

• Schritt 3:

• Untersumme: Kleinste Werte → f(0) = 0^2 = 0 und f(1) = 1^2 = 1

• Obersumme: Größte Werte → f(1) = 1^2 = 1 und f(2) = 2^2 = 4

• Schritt 4: Flächen berechnen

• Untersumme: (0 \cdot 1) + (1 \cdot 1) = 0 + 1 = 1

• Obersumme: (1 \cdot 1) + (4 \cdot 1) = 1 + 4 = 5

Die tatsächliche Fläche (also das Integral) liegt irgendwo dazwischen.

Das erklärt es wahrscheinlich am besten

Comments

[ShadowSlasher08]

Oh mein Gott, vielen Dank jetzt habe ich es verstanden Dank dir, vorallem wann man quadriert und wann nicht. Danke danke danke.

[Ben29041231]

@ShadowSlasher08

Kein Problem 👍

Answer 2

[Neeuugiieerriig]

Die Idee ist, das Integral als Summe von Flächen kleiner Rechtecke zu approximieren. Dabei gilt:

1. Intervall unterteilen: Zerlege das Intervall in kleine Teilintervalle. Jedes Rechteck hat die Breite Δx.
2. Rechteckhöhe wählen:

• Bei der Untersumme nimmst du in jedem Intervall den kleinsten Funktionswert (Minimum).
• Bei der Obersumme den größten Funktionswert (Maximum).
• Der Funktionswert ergibt sich aus der Funktion selbst – wenn deine Funktion beispielsweise f(x)=x² ist, quadrierst du den x-Wert.

1. Fläche berechnen: Multipliziere den Funktionswert (egal ob quadriert oder nicht, je nachdem, wie f definiert ist) mit der Breite Δx.
2. Also: Fläche = f(ξ) × Δx, wobei ξ der jeweilige Punkt (Minimum oder Maximum) im Intervall ist.
3. Aufsummieren: Addiere alle Flächen, um die Untersumme bzw. Obersumme zu erhalten.

Kurz: Multipliziere immer den Funktionswert (wie er in der Aufgabenstellung definiert ist) mit Δx.