Wie berechnet man lineare Gleichungen mit 3 Variablen?

Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht bis zum Ende lösen konnte. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Die letzte Gleichung wurde doch bereits aus 2 Variablen begrenzt. Die könntest du nun zum Beispiel umformen:

y = -4z

und das y entsprechend in den anderen beiden Gleichungen ersetzen:

6x - 5y + 2z = 8
6x + 20z + 2z = 8
6x + 22z = 8
..................
-3x + 10y + 3z = -11
-3x - 40z + 3z = -11
-3x - 37z = -11

Und schon hast du zwei Gleichungen mit nur noch 2 Unbekannten, was du auflösen kannst.

Ansonsten kannst du natürlich aber auch zum Beispiel das Gauß Verfahren anwenden.

.............................

Als Nachtrag:

Warum hast du dich im ersten Schritt dazu entschlossen, die zweite Gleichung * (-4) zu nehmen und die erste Gleichung * 2?

Wenn du die zweite Gleichung mit 2 multiplizierst und dann I + II machst, bekommst du das x dort bereits eliminiert:

-3x + 10y + 3z = -11 | * 2
-6x + 20y + 6z = -22
...........................
      6x - 5y + 2z = 8
+   -6x + 20y + 6z = -22
---------------------------
      15y + 8z = -14

Jetzt könntest du zweite und dritte bereits auflösen, oder du multiplizierst die dritte Gleichung noch mit -2 und kannst dann dort das z eliminieren:

y + 4z = 0 | * (-2)
-2y - 8z = 0
...........................
      15y + 8z = -14
+     -2y - 8z = 0
---------------------------
      13y = -14
        y = -14/13

Und von da aus dann x und z lösen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[Volens]

Normalerweise fasst man jeweils 2 Gleichungen zusammen und reduziert sie auf eine Unbekannte weniger.
Hier fehlt bei der 3. Zeile bereits das x. Daher eliminiert man auch bei den anderen beiden das x. Dann sind nur noch zwei Unbekannte da.

I    6x -  5y + 2z =   8   | *1
II  -3x + 10y + 3z = -11   | *2
III         y + 4z =   0

I    6x -  5y + 2z =   8
II  -6x + 20y + 6z = -22   | addieren

I+II      15y + 8z = -14   | *1    
III         y + 4z =   0   | *(-15)   

y eliminieren

I+II      15y +  8z = -14
III      -15y - 60z =   0  | addieren

               -52z = -14       | /(-52)
                  z = -14/(-52) 
                  z =  7/26

Jetzt kannst du erst z und dann y weiter oben einsetzen.
Leider sind es alles ziemlich krumme Bruchzahlen.                           
          

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 3

[Tannibi]

Ich würde III mit 30 multiplizieren und von (1) subtrahieren.
Dann ist nur noch z übrig.