Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit vom Glücksrad?
Hi, ich bekomme meine Mathe Hausaufgabe nicht hin. Sie lautet:
Ein Glücksrad hat einen roten Sektor mit einem Winkel von a und einen weißen Sektor mit dem Winkel 360° - a. Es wird 2x gedreht. Gewonnen hat man, wenn in beiden Fällen der gleiche Sektor kommt.
1.) Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?
2.) Der Spieleinsatz beträgt 5€, die Auszahlung 8€. Wie muss der Winkel a des roten Sektors gerwählt werden, damit das Spiel fair wird?
Über einen ausführlichen Lösungsweg würde ich mich freuen. Vielen Dank.🙈
3 Antworten
Hallo,
die Wahrscheinlichkeit, daß ein Sektor erscheint, hängt davon ab, wie sich sein Winkel zu einem Vollkreis verhält.
Hast Du einen Winkel von 60°, also von einem Sechstel des Vollkreises, beträgt auch die Wahrscheinlichkeit, daß dieser Sektor gedreht wird, p=1/6.
Der andere Sektor, der den ersten zu einem Vollkreis ergänzt, hat dann die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p, in diesem Fall also 5/6.
Allgemein also: p=a/360, 1-p=1-a/360=(360-a)/360.
Die Wahrscheinlichkeit, daß der gleiche Sektor zweimal hintereinander erscheint, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten, daß Sektor 1 zweimal hintereinander kommt und daß Sektor 2 zweimal hintereinander erscheint,
also (a/360)²+[(360-a)/360]².
Wenn Du 5 Euro pro Spiel bezahlst und 8 Euro bekommst, wenn Du gewinnst, bedeutet das: Spielst Du achtmal und gewinnst fünf dieser acht Spiele, hast Du
8*5=40 Euro ausgegeben und 5*8=40 Euro gewonnen, gehst also mit genausoviel Geld nach Hause, wie Du vorher in der Tasche hattest.
So ein Spiel nennt man fair, denn weder der Spieler noch der Spielanbieter werden auf lange Sicht etwas gewinnen oder verlieren.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit muß hier also bei 5/8 liegen, wenn das Spiel fais sein soll.
Da die von Winkel a abhängige Wahrscheinlichkeit wie gezeigt
p=(a/360)²+[(360-a)/360]² beträgt, mußt Du für p eine 5/8 einsetzen und die Gleichung nach a auflösen.
Da das auf eine quadratische Gleichung hinausläuft, benutzt Du am besten die pq-Formel. Die brauchbare Lösung muß zwischen 0 und 360 liegen.
Herzliche Grüße,
Willy
2) du hast 4 Möglichkeiten zu drehen: rr, rw, wr, ww. Zwei Möglichkeiten davon gewinnen, die anderen beiden verlieren. Wenn du gewinnst bekommst du Gewinn - Einsatz also 3€, wenn du verlierst -5€. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen steht oben, die Wahrscheinlichkeit zu verlieren ist die Gegenwahrscheinlichkeit zu gewinnen, also 1 minus p(Gewinnen). Damit das Spiel fair ist muss der Erwartungswert gleich 0 sein also:
-5×p(Verlieren)+3×p(Gewinnen)=0
Da setzt du deine Wahrscheinlichkeiten ein und formst nach a um
1) Dein roter Sektor macht einen Anteil von a/360 aus, dein weisser einen von (360-a)/360. Die Wahrscheinlichkeit zweimal rot zu bekommen ist (a/360)² und zweimal weiss ((360-a)/360)², die Gewinnwahrscheinlichkeit ist also die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten, also p = (a/360)²+((360-a))/360)²