Wie berechne ich den Abstand des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten von Eckpunkten?

Hallo, Ich verzweifel gerade an einer mathematischen Aufgabe. Meine Aufgabe lautet: Bestimmen Sie den Abstand des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten von den Eckpunkten. Meine Gleichungen der Mittelsenkrechten lauten yab= 1/5x-4/5 yac= 2x-2/5 ybc= -8/5*x+12/5

Kann mir einer bitte helfen, wie ich den Abstand zwischen meiner Mittelsenkrechten und den Eckpunkten des Dreieckes berechne? Und welcher mathematische Satz dies ausdrückt?

Meine Eckpunkte des Dreieckes sind: A(-1/-2) B(4/-1) C(1,5/3). Meine Schnittpunkte der Mittelsenkrechten sind: AB=AC -> P( -2/9 / -38/45) AB=BC -> P ( 16/9 / -4/9) BC= AC -> P (7/9 / 52/45)

Ich bedanke mich schon einmal für eure Hilfe.

Answer 1

[Volens]

Die Mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Seiten.

Zuerst musst du allerdings die Gleichungen der Seiten ausrechnen (Zweipunkteverfahren). Sodann:

Du bildest insgesamt drei Geraden, die durch Mittelpunkte der Seiten gehen und zur jeweiligen Seite die Steigung  -1/m  haben.

Da alle drei sich in einem Punkt schneiden müssen, reicht es dann, zwei Mittelsenkrechten zum Schnitt zu bringen (Gleichsetzung). Zwei andere könnte man dann noch als Probe verwenden.

Du erhältst auf diese Weise Koordinatenangaben zum Schnittpunkt und kannst mit dem Pythagoras die Abstände zu den Eckpunkten ermitteln. (Steigungsdreiecke, bei denen der Abstand die jeweilige Hypotenuse ist.)

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 2

[claushilbig]

Wenn Du drei verschiedene Schnittpunkte errechnet hast, kann schon mal irgendwas nicht stimmen, da sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks grundsätzlich alle in einem Punkt schneiden, nämlich dem Umkreis-Mittelpunkt.

Aus dieser Tatsache ergibt sich auch, dass es dann reicht, den Abstand des Schnittpunktes zu einem einzigen Eckpunkt zu berechnen, zu den beiden anderen Eckpunkten ist der Abstand dann der selbe (weil ja alle auf dem Umkreis liegen).

Den Abstand d zwischen zwei Punkten P1 (x1 | y1) und p2 (x2 | y2) errechnet man grundsätzlich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

d² = (x1-x2)² + (y1-y2)²

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

die Gleichung der Mittelsenkrechten bekommst Du über den Mittelpunkt zwischen zwei Dreieckspunkten und einen Richtungsvektor, der senkrecht zum Richtungsvektor der Verbindung zwischen diesen beiden Punkten steht.

Beispiel: Mittelsenkrechte durch AB.

Mittelpunkt zwischen A und B =A+0,5*(B-A)=(-1/-2)+0,5*(5/1)=(1,5/-1,5)

Gleichung Mittelsenkrechte: (1,5/-1,5)+a*(1/-5) (Komponenten vom Richtungsvektor der Geraden vertauschen und bei einer Komponente das Vorzeichen wechseln ergibt einen senkrechten Richtungsvektor).

Zweite Mittelsenkrechte auf gleiche Weise bestimmen (alle drei treffen sich in einem einzigen Punkt, daher brauchst Du nur zwei Mittelsenkrechten)

Gleichsetzen der Mittelsenkrechten ergibt den Schnittpunkt.

Abstand zweier Punkte (v/w) und (x/y) gleich Wurzel [(x-v)²+(y-w)²]

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 4

[HeniH]

Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Also ist der Abstand zu A, B und C, jeweils gleich und zwar R (Radius des Umkreises des Dreiecks). 

und R = abc / (4*A), wo a = |BC|, b = |AC|, c = |AB| und A = Flächeninhalt des Dreiecks.

Mit der Heron'schen Formel ist dies: A =√[p * (p -a) * (p - b) * (p -c)] , und 

p = (a + b + c) /2

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Mathematik studiert.

Answer 5

[Ellejolka]

such mal nach Radius vom Umkreis im Dreieck.