Du hast ein regelmäßiges Gitternetz in diesem Gitternetz sind Dreiecke einbeschrieben, ein Dreieck ist immer nur mit Eckpunkten (Schnittpunkte) verbunden?
Gebe eine Formel an die für alle n nächst größeren Dreiecke den Flächeninhalt bestimmt, n=1 ist das kleinste mögliche Dreieck, n=2 das nächst größere mögliche Dreieck ect.
Gitternetz:
2 Antworten
probiere es mit den Satz von Pick
Und? Nachdem diese Antwort noch immer keinen Stern hat, helfe ich Dir mal auf die Sprünge: Laut Pick ist jede solche Fläche ein ganzzahliges Vielfaches von ½. Und umgekehrt findest Du für jedes n∊ℕ mühelos ein Dreieck mit der Fläche ⁿ/₂.
Ja aber ich habe das Problem inzwischen verstanden, der Satz von Pick bringt dir nichts wenn du verschiedene n-großen Dreiecken Gitterpunkte zuordnen kannst, im Grunde ist da Problem gar nicht lösbar da es für jede rationale und irrationale Zahl ein Dreieck gibt, sprich der ganze Zahlenstrahl ist präsent und du kannst ja wohl schlecht eine Formel haben welche ein unendlich kleines Dreieck rausspuckt. Der Grund dafür liegt daran begründet das wir eine unendlich große Fläche erlauben, eine unendlich große Fläche kann unendlich kleine Dreiecke produzieren. Du musst die Dreiecke so sortieren das du sukzessive die erlaubte Fläche erhöst, und die nur alle x und y unabhängig ihrer zu Punkten betrachtest.
dann hast du für jede Konfiguration von x und y Koordinaten oder besser gesagt relativen Punktabständen einer endlichen Fläche kombinatorisch betrachtet immer 4 vier mögliche Dreiecke wobei hier auch erstmal Dreiecke dazuzählen die einen Flächeninhalt von 0 haben also eine Strecke sind, jeder Gruppe an vier Dreiecken bildet immer vier verschiedene Flächeninhalte, die dann nur gruppentheoretisch reproduziert werden muss.
Dann ist der eine Aspekt das Problem ist diese jetzt nochmal innerhalb der Gruppe eines bestimmten endlichen Flächeninhalts zu ordnen da bin ich noch nicht dahinter gekommen.
da es für jede rationale und irrationale Zahl ein Dreieck gibt
Zeig mir irgendein Dreieck mit ganzzahligen Eckpunkten, dessen Fläche kein ganzzahliges Vielfaches von ½ ist.
Aber soweit ich mich richtig erinnere kann man mit einer Verallgemeinerung des Satzes von Pick warscheinlich ein ähnlicher Satz anderen Namens die Leibnitz Formel über die Gaußen Zahlen also Gitterpunkte mit einem gegen Unendlich divergierenden Kreis reproduzieren, vielleicht fällt dir der Name dazu ein
Nehm mal ein Koordinatensystem und nimm für das Dreieck die Punkte A(0|0) B(5|1) und C (2|9)
Alpha=arccos[{xAB×xBC+yAB×xAC}/{√{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}×√{(xC-xA)^2+(yC-yA)^2}}
Alpha=arccos[{xAB×xBC+yAB×xAC}/{√26×√85}]
Alpha=arccos[{5×2+1×9}/{√26×√85}]
Alpha=arccos[19/√2210]
Das hat die Fläche 21,5 = 43/2. Ich meinte eins mit Fläche 1/3 oder 4,2 oder √7.
Wozu berechnest Du einen Winkel?
21,5 tatsächlich, aber warum, das verstehe ich nicht
Also der Winkel ist irrational die beiden Strecken aber auch trotzdem ist der Flächeninhalt bzw. das Resultat daraus rational warum
kann man auch einfacher
Oh ja, besonders bei ganzzahligen Eckpunkten:
Zeichne ein achsenparalleles Rechteck um das Dreieck, sodass alle drei Ecken auf dessen Rand liegen. Das Rechteck hat eine ganzzahlige Fläche, und die drei angepappten rechtwinkligen Dreiecke haben Flächen der Form ab/2 mit ganzzahligen a und b. Da kann für das Originaldreieck nur eine Fläche der Form ⁿ/₂ herauskommen, egal wie irrational die Seitenlängen und Winkel sind.
Bei deinem Beispiel kommt man so auf 5·9 – 5·1/2 – 2·9/2 − 3·8/2 = 43/2
Bleibt noch die Frage wieso bei meiner Formel etwas rationales rauskommt
A=1/2×√85×√26×sin[arccos[19/√2210]]
sin( arccos(19/√2210) ) = sin( arcsin(√(1 − 19²/2210)) ) = √(1849 / 2210).
√1849 = 43, und √2210 = √85·√26 kürzt sich raus.
Aber warum kommen da jetzt wirklich nur vielfache von 1/2 raus
Hm, egal, ich denk vielleicht auch schon wieder zu kompliziert
Wie viele verschiedene Dreiecke mit dem Flächeninhalt 21,5 gibt es denn jetzt xD
Ich vermute weil die kleinste Fläche, die du mit den Statz von Pick konstruieren kannst 1/2 LE ist und du kannst alle anderen Flächen unterteilen in n viele Flächen wobei jedes dieser n Flächen ebenfalls 1/2 LE groß ist.
schau dir mal dieses Video an
Entweder über den Satz von Pick: A=I+R/2−1 (I und R sind ganzzahlig).
Oder geometrisch über das umbeschriebene Rechteck, wie im meinem obigen Kommentar skizziert. Das braucht aber ein paar Fallunterscheidungen, weil stumpfwinklige Dreiecke nicht zwingend so ein Um-Rechteck besitzen.
Wie viele verschiedene Dreiecke mit dem Flächeninhalt 21,5 gibt es
Unendlich viele: (0, 0), (43, 0), (z, 1) für jedes z∊ℤ. Das sind aber noch nicht alle.
Ich vermute, dass man die Anzahl an n flächigen Flächen mit dem Satz von Pick rekursive berechnen kann
Korrigiere mich falls ich daneben liege
wie gesagt, schon unendlich viele mit horizontaler Grundseite 2n und Höhe 1. Dasselbe für jeden Teiler von 2n (und angepasster Höhe).
Welche „schrägen“ Grundseiten (mit meist irrationaler Lange) möglich sind, müsste man mal untersuchen. Nimm einen gekürzten Bruch a/b (o.B.d.A. a≤b). Berechne den Abstand der Grundseite (0, 0)-(a, b) zu (0, 1)-(a, b+1) als Höheneinheit h und schau, wann 2n ein ganzzahliges Vielfaches von h·√(a²+b²) ist. Genau dann kannst Du Dreiecke mit Vielfachen der Grundseite und/oder der Höheneinheit h bilden, die die Fläche n haben.
Bei der Berechnung von h taucht sicher ein √(a²+b²) im Nenner auf, das sich wegkürzt. Interessant ist also nur, was im Zähler steht. Das wird nicht immer ein Teiler von 2n sein.
mal eine doofe Frage kann man überhaupt mit irrationalen Seiten und Winkeln ein Dreieck mit einem irrationalen Flächeninhalt konstruieren? Weil es könnte auch sein das Dreiecke nur mit irrationalen Winkel und Seiten überhaupt gar nicht gehen, was meinen sie? Bräuchte ich dann schon Seiten mit transzendenten Längen also π oder e
A(1)=1/2
A(2)=2/2
A(3)=3/2
A(4)=4/2
A(n)=n/2
für Fläche von einem Kästchen von 1 Einheit
Fehler, für n=5 gehts nicht.
Es sei, das Feld ist immer quadratisch oder rechteckig.
Das Ding ist das es mehrere Möglichkeiten für Dreiecke des selben Flächeninhalts gibt
die eigentliche Frage dahinter ist ab welchen n es Werte geben kann die keine Vielfachen von 1/2 sind, dann hast du nämlich das Problem
Dann spielen nämlich die verschiedenen Anordnungen auch eine Rolle
Für n=1 hast du nur eins (1/2) für n=2 schon 2 (1), für n=3 hast du auch noch unregelmäßige Dreiecke
Das regelmäßige Gitternetz, ist es quadratisch oder rechteckig?
Nehm mal ein Koordinatensystem und nimm für das Dreieck die Punkte A(0|0) B(5|1) und C (2|9)
Wurzel aus 26 ist dann sogar irrational und egal wie du es jetzt drehst oder wendest da muss wieder was irrationales rauskommen
Im Prinzip geht es darum wann eine irrationale Zahl hoch zwei als zwei rationale Zahlen hoch zwei dargestellt werden kann c^2=a^2+b^2 zwar kann die Hypothenuse irrational sein (√2)^2=1^2+1^2 <=> √2=√2, trotzdem können die Katheten rational bzw. ganz sein
Der große Satz von Fermat sagt das es für a^n=b^n+c^n wenn n>2 ist keine ganzen Zahlen a, b, c geben kann
Der Vier-Quadrate Satz von Langrange besagt das es jede positive ganze Zahl als vier postive Zahlen zum Quadrat geschrieben werden können n=a^2+b^2+c^2+d^2
willst du die Leute hier nur vorführen ? Weißt selber so viel oder tust so ?
Mit Rechten Winkel kann ich eine irrationale Zahl als Seitenlänge habe obwohl andere Seiten rational sind sobald ich keinen rechten Winkel mehr habe müsste ich immer mindestens zwei Seiten haben die eine irrationale Länge haben
Ne ich denke nur laut nach, mehr nicht. Ich wollt mir nur noch mal alles darüber in Erinnerung rufen
Aber wenn die Frage unklar formuliert war können sie mir das ja gerne als Feedback geben, manchmal vergesse ich auch noch etwas dazu zu erwähnen
Jo wird notiert