Warum schneiden sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks?
Hi,
ich möchte einen Beweis zu oben genannter Frage durchführen. Mir ist bereits klar, dass alle Punkte der Mittelsenkrechten zu Strecke AB gleich weit von A und B entfernt sind, selbiges gilt für die Mittelsenkrechte zu BC. Aber wie ist der logische Schluss?
Danke im Voraus
LG
4 Antworten
Hey :)
Es gilt ja: Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises - das heißt, dass dieser Punkt gleich weit von allen Eckpunkten des Dreiecks entfernt ist.
Der Beweis ist eigentlich recht simpel:
Sei D der Mittelpunkt der Seite AB. Dann ist dieser Punkt und auch die Mittelsenkrechte gleich weit von A und B entfernt. Das Selbe geht auch für den Mittelpunkt E auf der Strecke BC. Diese Mittelsenkrechte ist gleich weit von B und C entfernt. Der Schnittpunkt ist also gleich weit von A, B und C entfernt.
Den ganzen Beweis findest du hier:
http://www.mathepedia.de/Mittelsenkrechte_Umkreis.aspx
Bei Fragen melde dich.
LG ShD
Alle 3 Seiten liegen in einer Ebene. Dann liegen die Mittelsenkrechten ebenfalls in einer Ebene. Wenn das Dreieck nicht entartet ist (also z.B. parallele Seiten hat) schneiden sich nach dem Parallelenaxiom die Mittelsenkrechten im Endlichen.
Es wurde nicht gefragt, warum die sich in einem Punkt schneiden. Das hat soSohatsdrauf beantwortet.
Alle (sinnvollen) Konstruktionsgeraden im Dreieck (Höhen, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende) überschneiden sich, weil sie alle 3 gleiche Bedingungen haben und damit in anderen Richtungen verlaufen.
Hilft es, dass sie nicht parallel sein können?
Danke, hab ich jetzt auch so ;)