Wer kann diese Textaufgabe beantworten?
Zwei geradlinige Wege sind bereits vorhanden, eine Verbindung zwischen diesen Wegen allerdings nicht. Eine weitere geradlinige Verbindung ist nicht möglich, da einige Bäume diesen direkten Weg versperren und er auf keinen Fall diese Bäume entfernen möchte. So muss also eine Lösung gefunden werden, welche die beiden Wege einerseits "knickfrei" verbindet und andererseits die Bäume schont. Um hier ans Ziel zu kommen, hat er einige Fakten ermittelt und dann weitere Berechnungen durchgeführt.
In einem geeigneten Koordinatensystem stellt er den einen geradlinigen Weg durch die Gleichung
y = - 0,5x für x kleinergleich 0, den anderen durch die Gleichung y = 2x-11 für x größergleich 5 dar.
Für die Kurve wählt er eine Funktion 3. Grades der Form f(x) = ax3 + bx2 +cx+d um die beiden Wege „glatt“ zu verbinden. Bestimmt werden müssen die Koeffizienten a, b, c und d
1 Antwort
Die Anschlusspunkte sind P (0│0) und Q (5│-1).
Folgende Bedingungen sind zu beachten:
f(0) = 0
f(5) = -1
f'(0) = -0,5
f'(5) = 2
D.h., die Anschlusspunkte und die Steigungen in den Anschlusspunkten müssen übereinstimmen.
Mit diesen Bedingungen kannst Du ein LGS aufstellen und die Koeffizienten bestimmen.
Die Anschlusspunkte P (0│0) und Q (5│-1) erhältst Du, inem Du für x = 0 und x = 5 die zugehörigen Funktionswerte berechnest.
An diesen Stellen muss die gesuchte Übergangskurve die gleichen Funktionswerte haben wie die Geraden, denn sonst gäbe es Bruchstellen.
Zudem muss die Steigung an diesen Stellen die gleiche sein, sonst gäbe es Knicke.
Funktion und Ableitung lauten:
f(x) = a * x³ + b * x² + c * x + d
f'(x) = 3 * a * x² + 2 * b * x + c
Die Bedingungen hatte ich genannt. Aus diesen Bedingungen können Gleichungen formuliert werden.
f(0) = 0 ⇒ 0 = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d = d
f(5) = -1 ⇒ -1 = a * 5³ + b * 5² + c * 5 + d = 125 * a + 25 * b + 5 * c
f'(0) = -0,5 ⇒ -0,5 = 3 * a * 0² + 2 * b * 0 + c = c
f'(5) = 2 ⇒ 2 = 3 * a * 5² + 2 * b * 5 + c = 75 * a + 10 * b + c
Da c und d bekannt sind reduziert sich das Gleichungssystem auf 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:
(1) -1 = 125 * a + 25 * b -2,5
(2) 2 = 75 * a + 10 * b - 0,5
--------------------------------------
(1) 1,5 = 125 * a + 25 * b │ * 2 / 5
(2) 2,5 = 75 * a + 10 * b
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(1) 3 / 5 = 50 * a + 10 * b
(2) 5 / 2 = 75 * a + 10 * b
-------------------------------------
(5 / 2) - (3 / 5) = 75 * a - 50 * a
a = 19 / 250
3 / 5 = 50 * 19 / 250 + 10 * b
b = -8 / 25
Die gesuchte Funktion lautet damit:
f(x) = (19 / 250) * x³ - (8 / 25) * x² - (1 / 2) * x
tut mir leid, aber für mich sind das böhmische dörfer.
(meine schulische laufbahn ist schon sehr lange her ;)
warum sind c und d bekannt?
was ist f und x in der funktion ?
Mehr als die Lösung einschl. Lösungsweg kann ich nicht anbieten. Da fehlen offensichtlich Grundlagen über Funktionen, die hier nicht aufgearbeitet werden können.
da hast du ein weises wort gelassen ausgesprochen.
allerdings kann ich die lösung nicht erkennen.
(ja, nicht mal das;)
welches sind denn die 4 koeffizienten ?
Danke für den Erklärungsversuch, aber leider kann ich das nicht.