Wenn man einen Würfel der Kantenlänge 1 durch die Verkleinerung des Volumens in eine Kugel mit dem Durchmesser 1 umformt, wie ändert sich die Kantenlänge?
Angenommen man hat einen würfel förmigen Luftballon der Kantenlänge 1 und malt die Kanten auf. Wenn man die Luft ablässt und ihn in eine Kugel umformt, sieht man die ursprünglichen Kanten auf der Kugel. Beim Übergang vom Würfel zur Kugel verliert der Körper ca 47,....% Volumen, wieviel Prozent verkürzt sich die Kantenlänge auf der Kugel? Sind es auch ca 47%
2 Antworten
Sind es auch ca 47%
Ziemlich sicher nicht: Wenn sich die Strecken halbieren, schrumpfen die Flächen auf 1/4 und das Volumen auf 1/8. Dazu kommt noch, dass die geraden Würfelkanten auf der Kugel zu Kreisbögen werden.
Verstehe ich es so richtig:
- Du hast eine Kugel mit Durchmesser 1 in einem Würfel mit Kantenlänge 1.
- Du projizierst das Würfelgitter auf die Kugel. Die Kanten werden dabei auf Teile eines Großkreises abgebildet.
- Gesucht ist die Länge des Bildes einer Kante.
Liegt der Kugelmittelpunkt im Ursprung, dann liegen die 8 Ecken des achsenparallelen Würfels bei (±1, ±1, ±1). Deren Bilder liegen bei einer Zentralprojektion vom Ursprung in denselben Richtungen, nur eben etwas näher am Ursprung. Für die Bogenlänge einer Kante auf der Kugel brauchst Du nur den Winkel 𝛼 zwischen zwei benachbarten Eckpunkten. Den halben Winkel findest Du im rechtwinkligen Dreieck unter der Hypotenuse von (0, 0, 0) bis (1, 1, 1):
- tan(𝛼/2) = 1/√2 ⇔ 𝛼 ≈ 70,5°.
Der Rest ist simpler Dreisatz: Ein ganzer 360°-Umfang auf der Kugel hat die Länge π, und ca. 70,5° davon entfallen auf ein Kantenbild. Aus einer Kante der Länge 1 wird also ein Bogen der Länge π·70,5/360 ≈ 0,61548. Das sind etwa 38,5 % Verlust.
Mir kommt das etwas wenig vor. Zum Vergleich: Ein Würfel mit demselben Volumen wie die Kugel (π/6) hat die Kantenlänge ∛(π/6) ≈ 0,806. Wenn man ihn zu einer Kugel knetet, wandern die Ecken deutlich nach innen und die Seitenmittelpunkte leicht nach außen. Ich bin überrascht, dass die Kanten dabei so viel kürzer werden (von 0,806 auf 0,615). Vielleicht versteckt sich ja oben ein kleiner Rechenfehler.
liegen die 8 Ecken des achsenparallelen Würfels bei (±1, ±1, ±1)
Korrektur: Sie liegen bei (±1/2, ±1/2, ±1/2). Aber die Richtungen stimmen ja, also passt die weitere Rechnung.
Zu meinen Zweifeln:
Alle Punkte auf der Kugel sind 0,5 vom Mittelpunkt entfernt. Beim kleinen Würfel (mit gleichem Volumen) ist die Mitte jeder Kante 0,57, seine Ecken sogar 0,7 weit draußen. Beim Kneten werden alle Kanten also erst mal um 14% nach innen gedrückt und dann an den Enden auf die Kugeloberfläche gebogen, was sie noch mal verkürzt (wegen 𝛼<tan 𝛼). Das Schrumpfen um 24% (von 0,806 auf 0,615) ist also doch nicht so überraschend.
Kugeln haben keine Kantenlänge!