was kommt raus wenn ich 1+2+3 bis 100 zusammenrechne?
rechnen ist nicht so meins
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+usw bis +100
7 Antworten
Dazu gibt es auch einen optischen Beweis. Zuerts hats du einen Punkt, dann kommen zwei dazu, dann drei usw., so dass eine Treppe entsteht und du willst die Anzahl der Punkte wissen: du startest mit 1, dann kommen zwiei dazu, dann drei, dann vier und dann 5 usw., so dass du die grünmarkierte Punkte hast. Jetzt kann man denken, dass man die Punkte mit der Flächformel (A=g*h/2) für Dreiecke bestimmen kann, doch 5*5/2=12,5, also keine gerade Zahl, obwohl wir immer gerade Anzahl an Punkten dazuaddieren. Deshalb ergänzt man das Dreickeck zu einem Viereck, indem man dasselbe Dreieck nochmal umkippt, siehe Abbildung 2. Dabei entsteht genauer gesagt ein Rechteck, da diese blaumarkierte Spalte entsteht, also nimmt die breite immer um 1 zu.
Und nun kann man die Anzahl der Punkte mit der Flächenformel für ein Rechteck (a*b) berechen. 5*(5+1)=30. Jetzt muss man noch die Anzahl der Punkte durch 2 Teilen, um die Anzahl der grünen Punkte zu bestimmen: 30/2=15. Das ist nichts weiter als 1+2+3+4+5. Das kann man beliebig erweitern, z. B. 1+2+3+4+5+6+7+8... - es kommt drauf an, wie n-Spalten man dazuaddiert. Um das zu veralgemeinern kann man n*(n+1)/2 rechnen, wobei n die Seite a und (n+1) die Seitenfläche b ist. In deinem Bespiel wäre n=100, also: 100*101/2= 5050
Man kann das auch so zeigen: Die erste Zahl mit der letzten Zahl addieren, dann die zweite mit der vorletzten, usw., so hast du am Beispiel n=100: 100*(100+1)/2. Du musst am Ende durch 2 dividieren, da du zwei Zahlen immer addierst, also kannst du das n/2 mal machen.
Meine Lehrerin - bin in der 9. Klasse - hat mir was zum Beisen gegeben, damir ich mich im Unterricht nicht langweile, nämlich die Anzahl der Diagonalen bei n-Ecken und das kannst du mit der Summenformel machen, also nach den ganzen Überlegungen: n²-n-(n*(n+1)/2)= (n²-3n)/2= n*(n-3)/2
5050
Dazu gibt es sogar eine Formel den kleinen Gauß. Der hilft dir die Zahlen von 1-100 zu berechnen.
Es ist eigentlich ganz einfach. Du rechnest einfach 1+100=101 ; 2+99=101 ; 3+98=101
Vielleicht, ist dir aufgefallen, dass bei allen 101 rauskommt. Also musst du schauen, wie viele Rechenaufgaben gibt es, genau 50 ( da du ja mit einer Aufgabe 2 Zahlen „aus dem Weg„ räumst.
Also lautet die Rechenaufgabe:
101• 50= 5050
Man rechnet 1+100=101 und 2+99=101 bis 50+51=101, also 50×101=5050
Daraif ist Gauß schon in der Grundschule gekommen...
Da kommt aus 100+ (1+99) + (2+98 + …
Es ist nicht falsch… aber wenn du es einfach haben willst, (n+1)/2 * n
1+99 ist 100, 2+98 ist 100 ... Resultat wäre also x*100 ... Wie soll das dann richtig sein können?
Guck mal deine Antwort an: "Da kommt aus 100+ (1+99) + (2+98 + …"
Also 100 + 100 + 100 + ...
@Bergziege110 hat schon recht. Ist halt nicht exakt die Faustformel, aber natürlich klappt es genauso, solange man am Ende halt noch daran denkt, dass die 50 am Ende "keinen Partner" hat und man die nochmal dazuaddieren muss
Die übrig bleibende 50 wurde halt unterschlagen, hätte eventuell als ... + 50 am Ende Teil der Antwort werden können (oder müssen). Wurde sie nicht, darum sehe ich die Antwort zwar als hübsch, aber falsch an.
Wenn da Pünktchen stehen, dann kann da alles kommen. Vielleicht ist es bisschen unklar aufgeschrieben, aber es ist nicht falsch, weil man sich die 50 am Ende echt selbst denken kann, wenn man das Prinzip verstanden hat
Womöglich - spekulativ - ist, wenn Rechnen nicht so seins ist (vom Fragesteller ist, sagt er ja selbst), das "sich selbst denken" auch nicht so :)
Kann man zwar so schreiben, aber dann solltest Du das letzte Glied nicht vergessen!
100+ (1+99) + (2+98) + ... + 50
Ist aber unnötig kompliziert. Der kleine Gauß ist da deutlich eleganter...
Das Ergebnis ist 5050
sieht zwar hübsch aus, ist aber leider falsch.