Was ist der Grad der Körpererweiterung von Q[Wurzel 2 +Wurzel 3] über Q?

(wurzel(2) + wurzel(3) )^2 = 5 + 2*wurzel(6)

Damit ist 5 + 2*wurzel(6) Nullstelle des Polynoms

x^2 - 10x + 1

und (wurzel(2) + wurzel(3) ) Nullstelle des Polynoms

x^4 - 10x^2 + 1

Der Grad von ℚ[√(2) + √(3)] über ℚ ist 4.

Man könnte das beispielsweise zeigen, indem man zeigt, dass x⁴ - 10x² + 1 das Minimalpolynom von √(2) + √(3) über ℚ ist, wobei dieses Minimalpolynom dann offensichtlich Grad 4 hat.

Du könntest auch zeigen, dass {1, √(2), √(3), √(6)} eine Basis des ℚ-Vektorraums ℚ[√(2) + √(3)] ist.

Oder, wie ich vorgehen würde: Du könntest zeigen, dass ℚ[√(2) + √(3)] = ℚ[√(2), √(3)] ist, und dann weiter zeigen, dass ℚ[√(2), √(3)] Grad 2 über ℚ[√(2)] hat, und dass ℚ[√(2)] Grad 2 über ℚ hat. Damit erhält man dann nach Gradsatz 2 ⋅ 2 = 4 für den Grad der Körpererweiterung ℚ[√(2) + √(3)] über ℚ.

[Edit: Ich hatte mich beim Minimalpolynom verschrieben und habe das jetzt noch schnell ausgebessert.]