Was hat pi/2 mit Sininus zu tun?

 - (Computer, Mathe, Mathematik)

9 Antworten

pi/2, etc... sind (Winkel-)Angaben im Bogenmaß.

Das Bogenmaß kommt vom Kreisumfang (u=2*pi*r) für den Einheitskreis (r=1) und gibt quasi die Länge der Bogenlinie an. Also pi/2 ist genau 1/4 von 2*pi und somit 1/4 von einem vollen Kreis, somit 90° im Grad-Winkelmaß.

π/2 ist hier ein im Bogenmaß angegebener Winkel.
π/2 im Bogenmaß sind 90° im Gradmaß.

0 = 0°
π/6 = 30°
π/4 = 45°
π/3 = 60°
π/2 = 90°
π = 180°
2π = 360°

Was Sinus und Kosinus mit Winkeln zu tun haben, ist dir hoffentlich klar.

Beispielsweise ist dann:

sin(π/2) = sin(90°) = 1

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Wenn du einen Taschenrechner verwendest, so musst du aufpassen, auf welches Winkelmaß dein Taschenrechner eingestellt ist.

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Wenn dein Taschenrechner beispielsweise auf Bogenmaß (RAD) eingestellt ist, so liefert der Taschenrechner ...

... bei Eingabe von »sin(π/2)« den Wert »1«.

... bei Eingabe von »sin(90)« in etwa den Wert »0,894«.

Denn dann wird bei sin(90) die 90 nicht als 90° interpretiert, sondern als 90 im Bogenmaß, also als ungefähr 5157° im Gradmaß.

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Wenn dein Taschenrechner beispielsweise auf Gradmaß (DEG) eingestellt ist, so liefert der Taschenrechner ...

... bei Eingabe von »sin(90)« den Wert »1«.

... bei Eingabe von »sin(π/2)« in etwa den Wert »0,027«.

Denn dann wird bei sin(π/2) das Argument π/2 nicht als π/2 im Bogenmaß interpretiert, sondern als (π/2)° ≈ 1,57° im Bogenmaß, was dann ungefähr 0,027 im Bogenmaß wäre.

§1: sin(x) ist eine mathematische Funktion mit dem Argument (Input) x und der Periodendauer von 2Pi (danach wiederholt sich alles).

§2: die Funktionsergebnisse (Output) liegen alle im Bereich von -1...+1

§3: cos und tan haben sich die Menschen nur aus "Schreibfaulheit" zur Abkürzung ausgedacht. cos(x) ist einfach nur um Pi/2 verschoben-> kann also aus sin berechnet werden :

cos(x)=sin(x+pi/2)=sin(pi/2-x)=... mehr unter

http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm

Da sich die exakten Funktionsergebnisse relativ schwer berechnen lassen (unendliche Summen!; Taschenrechner verwendet nur Näherungsfunktionen und ist oft nicht mal 6 Nachkommastellen genau), haben sich die Menschen Wertetabellen erstellt.

Mit Hilfe von mathematischen Gesetzen, können einige Spezialwerte auch mit Hilfe der Wurzelfunktion Wurzel(x)=sqrt(x) berechnet werden:

sin( 0.7853981633974483...)=0.707106781186547...

hinter den 3 Punkten kommen aber noch unendlich viele Nachkommastellen, und deshalb kürzen die Menschen mit Symbolen ab:

sin(Pi/4) = sqrt(2)/2=1/sqrt(2)=Wurzel(2)/2

Aus geschichtlichen Gründen kannte man damals die Konstante Pi noch nicht so exakt und verwendete statt für den Vollkreis (2 Pi) die veraltete Einheit 360°.

Um diesen Umrechnungsfaktor 360/(2Pi)= 180/Pi = 57,29577951308232...

ist die veraltete Einheit ° (Grad) größer als die internationale SI Einheit des Winkels (rad). Einige Taschenrechner haben einen Einheiten-Umrechner-Modus eingebaut, der die Eingaben mit dem Faktor multipliziert (bevor der Funktionswert berechnet wird). Steht dieser auf Grad, rechnet er intern also:

sin( x° * Pi/180°)

Beispiel: Eingabe 30 im Modus Grad

sin(30° * Pi/180°)= sin(Pi/6)= sin(0.523598775598...)=0.5 = 1/2

Dann gibt es noch andere Einheiten, die nur noch mehr verwirren.

Ich lasse immer auf Modus SI-Einheiten stehen (beim Winkel ist es rad) und rechne selbst fremde Einheiten in SI-Einheiten um -> so kommt man nie durcheinander. Alle physikalischen Gesetze funktionieren mit SI-Einheiten!

Man kann die Wurzelschreibweise auch übertreiben, und dann ist die Berechnung per Wurzel komplizierter als die per sin:

sin(Pi/240) = sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))(sqrt((5+sqrt(5))/128)-sqrt(3)(sqrt(5)-1)/16)-sqrt(2-sqrt(2+sqrt(2)))((sqrt(5)-1)/16+sqrt(3/128(5+sqrt(5))))

= 0.01308959557134444019...

Noch was zur Frage, "..warum mit Pi zu tun..." -> lese

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

also weil der Umfang U eines Kreises mit dem Radius r=1 genau 2 Pi beträgt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Umfang

Die Winkeleinheit ist also die stufenlose Beschreibung, wie lang die betrachtete Kreislinie beim Kreis mit Radius 1 ist:

Vollkreis (360°): 2*Pi = 6.283185307179586476925...

Halbkreis: Pi = 3.14...

Winkel können im RAD und im GRAD Maß gemessen. pi/2 (RAD) entspricht 90°, wenn du Grad Maß im Taschenrechner hast, sollte 1 das Ergebnis sein. Man müsste auch den Taschenrechner auf RAD stellen können.

das warum ist leicht erklärt:
zeichne dir mal ein korrdinatensystem.
zeichne dir einen kreis mit radius 1 um den ursprung (auch einheitskreis genannt)
nun zeichne dir einen punkt ein (der einfachheit halber oben rechts in dem bereich)
und zeichne das steigungsdreieck von ursprung zu diesem punkt.
welche länge haben die waagrecht und di senkrecht seite?

senkrecht seite ist sinus, waagrechte seite ist cosinus.
und der winkel bei ursprung ist deren winkel.

nun überleg mal:
wenn der winkel beim ursprung dort 90° aka Pi/2=(2*Pi)/4 wird, wie lange ist dann horizontale seite und vertikale seite?

Insofern müsste bei deinem tashcenrechner 1 rauskommen.
Problem in 99,9999% der fälle:
dein technrechner ist noch falsch eingestellt, nämlich auf grad (wo ein voller kreis einen winkel von 360° hat)

dann ist natürlich klar dass sin(pi/2 grad) keine 1 ergibt.

irgendwo oder irgendwie kann man es auf rad (der kram mit pi) umstellen.

dann dürfte auch das richtige ergebnis rauskommen.

wie man auf so komische zwischenwerte wie sin(pi/4) oder so gekommen ist, weiß ich nicht.
vielleicht eine der additionstheoreme oder so?
wer weiß :-/

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