Was genau ist anders bei einer numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems?

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Analytisch ist nur praktikabel bis zur Größe von 3x3. Da analytisch, kann das Ergebnis exakt bzw. symbolisch berechnet werden.

Numerisch sind auch sehr viel größere LGS näherungsweise lösbar.

wow Topantwort! Das heißt: analytisch D= {M <= Raum} oder wie :DD

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@TERZI

@TERZ: Dein Kommentar checke ich nicht! :)

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Aber wie genau unterscheiden sich die Verfahren bzw. Ansätze?

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@quazar

ja ehem... :D also, ich habe damit einfach nur fragen wollen, ob die analytische Rechenweise dann also nur bis zur Raumdimension und die Numerische sich also für höhere Dimensionen eignet. Hab ich das richtig verstanden? :D

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@TERZI

Wenn ich mich nicht irre wäre das genau die Antwort von freejack75!

Wobei ich denke für spezielle Matritzenstrukturen/ -formen lassen sich auch höher-dimensionale Matritzen leicht analytisch lösen!

=> Blödes beispiel: Diagonalmatritzen oder Tridiogonale Matritzen.

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@TERZI

Wer lesen kann ist hier mal wieder klar im Vorteil. Ich schrub "nicht praktikabel". Es ist sehr wohl möglich auch für größere LGS eine analytische Lösung herzuleiten, nur für größer 3x3 wird es zunehmend unhandlicher. Daher bieten sich ab hier numerische Verfahren an.

Aber jeder wie er's mag. Du darfst meinetwegen auch 2x2-LGS mit Multi-Grid lösen... ;-))

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@quazar

bitte genau lesen: "nicht praktikabel" und "nicht möglich" ist ein himmelweiter Unterschied!

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@freejack75

Ich habe auch nicht geschrieben, dass es "nicht möglich" wäre. Mein Punkt war doch:

Eine GLS mit einer Diagonalmatrix kann man auch analytisch "leicht" lösen und damit auch praktikabel, oder nicht?!

Mich interessierte, aber eher der Unterschied zwischen diesen beiden Ansätzen! Ich denke der eigentliche Unterschied besteht in der LR-Zerlegung beim numerischen Lösen und der Zwischenschritt der Vorwärtssubstitution mit Lc=b.

Die LR-Zerlegung macht man beim Analytischen Verfahren aber implizit mit, denn die Einträge der MAtrix L sind notwendige Zwischenwerte die man zur Bestimmung der Rechtsmatrix benötigt. Numerisch speichert man diese aber mit, da das keinen weiteren Rechenaufwand mitbringt.

Dafür wird aber der Zwischenschritt mit der Vorwärtssubstitution notwendig (und das ist DER Unterschied zu dem analytischen Verfahren!). Die Vorwärtssubstitution erweist sich aber als sinnvoll wenn man den Ergebnisvektor b im Ursprungsproblem (Ax=b) ändert, muss man die LR-Zerlegung nicht nochmals machen und direkt die Lösung durch Schritt 2 (Lc=b) und 3 (Rx=c) lösen.

Von Rechenaufwand tut sich da aber nicht viel da die beiden Schritte 2 und 3 jeweils von der Ordnung O(n^2) sind.

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@quazar

Von den Spezialfällen (nur Hauptdiagonale besetzt, tridiagonal) sehe ich im folgenden mal ab.

Analytisch kann man gar keine LR-Zerlegung machen, da die Werte ja nicht bekannt sind; vielmehr kann man mit der Cramer'schen Regel eine geschlossene Formel angeben. Die explodiert einem jedoch förmlich für Dimensionen > 3.

Numerisch dagegen gibt es eine sehr große Menge an Verfahren. Direkte wie die LR-, QR- oder Cholesky-Zerlegung, und Iterationsverfahren wie Gauß-Seidel-Iteration, CG (Krylov-Unterraum-Verfahren), Mehrgitterverfahren, usw. Hängt stark vom Anwendungsfall und den Eigenschaften des LGS ab, was man zweckmäßigerweise nimmt.

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Eine analytische Lösung bedeutet, dass es eine Formel gibt, die die Lösung darstellt. Z.B. kann jeder die Ableitung von Polynomen beliebigen Grades exakt als Lösung angeben. Das hat nichts mit der Dimension zu tun!

Es gibt Problemstellungen, wofür es KEINE Lösungsformel gibt, d.h. die Lösung kann nicht exakt als Formel hingeschrieben werden. Um dennoch eine Lösung auszurechnen ist man hier auf numerische Lösungsverfahren angewiesen, d.h. man nähert sich der Lösung (optimal beliebig genau, man gibt ein kleines Epsilon vor und man braucht ein stabiles Verfahren) an. Voraussetzung ist, dass es für die Aufgabenstellung auch eine eindeutige Lösung gibt (global lösbar) bzw. innerhalb bestimmter Grenzen eindeutig ist (lokal lösbar), damit die (stabilen) Rechenverfahren nicht ins Nirvana abdriften!


Eine Sonderstellung sind die Aufgaben, zu denen es zwar analytische Lösungen gibt (z.B. die Umkehrmatrix A^-1 zu A mit maximalem Rang), man sie aber per Computer nicht auf diese Art und Weise bestimmen kann, weil zu aufwendig, z.B. Millionen von Spalten/Zeilen) Daher verwendet man wieder numerische Lösungsverfahren, um eine Approximation der Umkehrmatrix zu bekommen bzw. sogar nur indirekte Lösungen inkauf genommen werden!

Analytische Lösungen existieren nicht immer - aber wenn, sind sie auch exakt.

Numerische, quasi durch "Intelligentes Herumprobieren" herausgefundene, Lösungen existieren häufiger, sind aber nur Näherungen.

Ok das war mir klar. Ich glaube ich habe mich etwas ungenau formuliert.

Numerisch: verwendet man den Gauß-Algorithmus.

Gegeben: Ax=b Schritt 1: A = LR (LR-Zerlegung) Schritt 2: Lc=b (Vorwärtssubstitution) Schritt 3: Rx=c (Rückwärtssubstitution)

Analytisch macht man doch eigentlich nichts anderes, nur dass man den Schritt 2 nicht gesondert sonder implizit macht, oder sehe ich das falsch?

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@quazar

Genau das war auch meine Frage ungefähr Gauß= numerisch? Weil man sich mit dem Gauß -Verfahren auch an größere Matrizen heranwagen darf :D

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@TERZI

Das Problem ist, dass der Gaußalgorithmus an sich kann auch analytisch gesehen werden. Wenn z.B. die Matrix sehr einfach ist und keine Rundungsfehler auftreten. Da auf einem Rechner aber eine Schranke durch die Maschinengenauigkeit existiert wird in der Praxis oft mit einem Rundungsfehler gearbeitet (bzw muss dieser in Kauf genommen werden) was zu einer numerischen Lösung führt, die von der analytischen abweichen kann. Hier gibt es dann bessere Algorithmen als Gauß um diese Fehler zu minimieren.

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analytisch: Geschlossene Lösung

numerisch : Näherungsverfahren

Gut, aber wie genau unterscheiden sich die beiden Lösungsansätze?

Warum erhält man numerisch nur eine Näherung? Liegt es an Rundungsfehlern? Gibt es noch etwas anderes?

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