GIst es lineare gleichungssysteme mit genau zwei Lösungen?
Ja bei einem Gleichungssystem hat es entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Jetzt beschäftigt es mich ob so ein Gleichungssystem genau zwei Lösungen hat, indem man solche Gleichungen als Betragsgleichung schreibt. Wäre das möglich oder ist diese Theorie falsch?
3 Antworten
Jetzt beschäftigt es mich ob so ein Gleichungssystem genau zwei Lösungen hat, indem man solche Gleichungen als Betragsgleichung schreibt. Wäre das möglich oder ist diese Theorie falsch?
Dann ist es kein Lineares Gleichungssystem mehr.
Lineare Gleichungssysteme haben die Form Ax=b, wobei A eine Matrix ist und b ein Vektor (beides ist zu Beginn vorgegeben) gesucht wird dann ein Vektor x, sodass Ax=b erfüllt ist.
Angenommen das LGS hat jetzt die Lösungen x und y, die unterschiedlich sind. (Somit gilt Ax=b und Ay=b)
Betrachte nun den Vektor x + a*(y-x) (a ist eine biebige reelle Zahl), der auf der Verbindungsgerade von x und y liegt.
Dann gilt wegen der Limearität:
A(x+a(y-x)) = Ax + a(Ay-Ax) = b + a(b-b) = b
Jeder Punkt auf der Verbindungsgeraden ist somit auch eine Lösung vom LGS.
Wenn man also weiß, dass das LGS mindestens 2 Lösungen hat, dann weiß man direkt, dass es auch unendlich viele Lösungen hat
Hallo,
die Lösungen linearer Gleichungssysteme sind Schnittpunkte von Geraden.
Zwei Geraden können aber entweder genau einen Schnittpunkt haben oder keinen, wenn sie parallel verlaufen oder - bei Geraden im Raum - windschief zueinander sind, oder unendlich viele, wenn sie identisch sind.
Genau zwei Schnittpunkte aber können sie unmöglich haben.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich bin nicht sicher, ob das noch ein LGS ist.
Ist es nicht, denn Betragsgleichungen sind ja nicht linear, d.h. sie erfüllen nicht die Linearitätsbedingungen eines Vektorraumes.